Какая из функций возрастает на всей области определения?

Предмет: Математика
Раздел: Функции и их свойства (монотонность функций)

Задание: Какая из функций возрастает на всей области определения?

Даны функции:

• A) f(x) = \log_5 x
• B) f(x) = 0{,}5^x
• C) f(x) = x^2
• D) f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x

Решение:

Рассмотрим каждую из функций:

A) f(x) = \log_5 x

• Это логарифмическая функция с основанием 5 > 1.
• Логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает на всей своей области определения: (0; +\infty).
• ✅ Подходит.

B) f(x) = 0{,}5^x

• Это показательная функция с основанием 0{,}5 < 1.
• Такие функции убывают на всей области определения.
• ❌ Не подходит.

C) f(x) = x^2

• Это квадратичная функция.
• Она убывает на интервале (-\infty; 0) и возрастает на (0; +\infty).
• Следовательно, не возрастает на всей области определения.
• ❌ Не подходит.

D) f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x

• Это логарифмическая функция с основанием \frac{1}{3} < 1.
• Логарифмическая функция с основанием меньше 1 убывает на (0; +\infty).
• ❌ Не подходит.

Ответ:
Правильный вариант — A) f(x) = \log_5 x
Эта функция возрастает на всей своей области определения. ✅