Дробно-рациональная функция

Предмет: Математика
Раздел: Функции и их свойства

Дана функция:
y(x) = \frac{x}{9 - x}

Эта запись представляет собой дробно-рациональную функцию. Давайте разберем основные свойства данной функции.

1. Область определения функции

Функция имеет знаменатель 9 - x, и он не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Найдем, при каком значении x знаменатель обращается в ноль:
9 - x = 0 \implies x = 9.

Следовательно, область определения функции:
x \in (-\infty, 9) \cup (9, +\infty).

2. Нули функции

Нули функции — это значения x, при которых y(x) = 0.
Для дроби \frac{x}{9 - x} числитель должен быть равен нулю:
x = 0.

Таким образом, нуль функции:
x = 0.

3. Асимптоты

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель обращается в ноль. В данном случае вертикальная асимптота находится при x = 9.

Горизонтальная асимптота

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно рассмотреть поведение функции при x \to \pm\infty.
\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{9 - x} = -1.

Следовательно, у функции есть горизонтальная асимптота:
y = -1.

4. Поведение функции

• При x \to 9^+ (x стремится к 9 справа), y(x) \to +\infty.
• При x \to 9^− (x стремится к 9 слева), y(x) \to -\infty.

Итоговая информация о функции

• Область определения: x \in (-\infty, 9) \cup (9, +\infty).
• Нуль функции: x = 0.
• Вертикальная асимптота: x = 9.
• Горизонтальная асимптота: y = -1.

Если нужно построить график функции или провести более детальный анализ, напишите об этом!