Найти: Зависимость равновесной цены p(t) от времени

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, экономическая динамика (моделирование спроса и предложения)

Условие задачи:

Даны функции спроса и предложения:

Спрос: x = p'' - 2p' - 2p + 37

Предложение: x = 2p'' + 4p' + 8p + 7

где p = p(t) — цена как функция времени.

Начальные условия: p(0) = 5, p'(0) = 1

Найти:

1. Зависимость равновесной цены p(t) от времени
2. Предел \lim_{t \to \infty} p(t) — установившаяся цена в устойчивом состоянии рынка.

Шаг 1: Приравниваем спрос и предложение

Так как на рынке равновесие, приравниваем выражения для x:

p'' - 2p' - 2p + 37 = 2p'' + 4p' + 8p + 7

Переносим всё в одну сторону:

p'' - 2p' - 2p + 37 - (2p'' + 4p' + 8p + 7) = 0

Раскроем скобки:

p'' - 2p' - 2p + 37 - 2p'' - 4p' - 8p - 7 = 0

Группируем:

(p'' - 2p' - 2p + 37) - (2p'' + 4p' + 8p + 7) = 0

Вычисляем:

(p'' - 2p' - 2p + 37) - 2p'' - 4p' - 8p - 7 = 0

-p'' - 6p' - 10p + 30 = 0

Умножим на -1:

p'' + 6p' + 10p = 30

Шаг 2: Решаем дифференциальное уравнение

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

p'' + 6p' + 10p = 30

Решим соответствующее однородное уравнение:

p'' + 6p' + 10p = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 + 6r + 10 = 0

Решаем:

r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-6 \pm 2i}{2} = -3 \pm i

Общее решение однородного уравнения:

p_h(t) = e^{-3t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)

Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть — постоянная, поэтому ищем частное решение в виде p_p(t) = A

Подставим в уравнение:

0 + 0 + 10A = 30 \Rightarrow A = 3

Общее решение:

p(t) = p_h(t) + p_p(t) = e^{-3t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t) + 3

Шаг 3: Найдём константы по начальному условию

1. p(0) = 5:

p(0) = e^0(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) + 3 = C_1 + 3 = 5 \Rightarrow C_1 = 2

2. p'(0) = 1

Найдём производную:

 \begin{align*} p'(t) &= \frac{d}{dt}[e^{-3t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)] \ &= e^{-3t}[-3(C_1 \cos t + C_2 \sin t) + (-C_1 \sin t + C_2 \cos t)] \end{align*} 

Подставим t = 0:

 p'(0) = e^0[-3(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) + (-C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1)] = -3C_1 + C_2 

Подставим C_1 = 2:

-6 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 7

Ответ:

Функция равновесной цены:

p(t) = e^{-3t}(2 \cos t + 7 \sin t) + 3

Шаг 4: Найдём установившуюся цену при t \to \infty

Так как экспоненциальный множитель e^{-3t} \to 0 при t \to \infty, то:

\lim_{t \to \infty} p(t) = 3

✅ Итог:

• Зависимость цены от времени:
  p(t) = e^{-3t}(2 \cos t + 7 \sin t) + 3

• Установившаяся цена при устойчивом состоянии рынка:
  \lim_{t \to \infty} p(t) = 3