Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x^2 + 2x и y = -x. Также выполнить схематический чертёж

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — определённый интеграл и площадь криволинейной трапеции

Задание:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = -x^2 + 2x и y = -x.
Также выполнить схематический чертёж.

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Найдем точки пересечения кривых, приравнивая правые части уравнений:

-x^2 + 2x = -x

Переносим все в одну сторону:

-x^2 + 2x + x = 0
-x^2 + 3x = 0
x(-x + 3) = 0

Отсюда:

x = 0 или x = 3

Подставим в любое уравнение, например, y = -x:

• При x = 0: y = 0
• При x = 3: y = -3

Значит, точки пересечения: (0, 0) и (3, -3).

Шаг 2: Определим, какая функция сверху, а какая снизу

Рассмотрим значение функций между x = 0 и x = 3.
Возьмем, например, x = 1:

• y_1 = -x^2 + 2x = -1 + 2 = 1
• y_2 = -x = -1

Значит, в этом промежутке функция y = -x^2 + 2x лежит выше, чем y = -x.

Шаг 3: Запишем формулу для площади

Площадь между двумя кривыми на интервале [a, b] равна:

 S = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx 

Где f(x) — верхняя функция, g(x) — нижняя.

В нашем случае:

• Верхняя: f(x) = -x^2 + 2x
• Нижняя: g(x) = -x
• Пределы интегрирования: 0 и 3

 S = \int_0^3 [(-x^2 + 2x) - (-x)] \, dx = \int_0^3 (-x^2 + 2x + x) \, dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x) \, dx 

Шаг 4: Вычислим интеграл

 \int_0^3 (-x^2 + 3x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^3 

Подставим пределы:

 = \left( -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} \right) - \left( 0 \right) = -9 + 13.5 = 4.5 

Ответ:

S = 4.5 (единиц площади)

Схематический чертёж:

Вот примерный вид графиков:

• Парабола y = -x^2 + 2x — ветви вниз, проходит через (0, 0) и (2, 0)
• Прямая y = -x — наклон вниз, проходит через (0, 0) и (3, -3)

Пересекаются в точках (0, 0) и (3, -3), фигура между ними — ограниченная область, площадь которой мы нашли.

Если хочешь, могу построить график.