Какую часть дохода получает 13% (0.13) наиболее низкооплачиваемого населения

Предмет: Математика
Раздел: Экономическая математика / Теория вероятностей и статистика (анализ распределения доходов, кривая Лоренца, коэффициент Джини)

Условие задачи:

Дана кривая Лоренца:

y = 0{,}54x^2 + 0{,}46x

Найти:

1. Какую часть дохода получает 13% (0.13) наиболее низкооплачиваемого населения.
2. Вычислить коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода (коэффициент Джини).

Шаг 1: Доход 13% населения

Подставим x = 0{,}13 в уравнение кривой Лоренца:

y = 0{,}54x^2 + 0{,}46x

 \begin{align*} y &= 0{,}54 \cdot (0{,}13)^2 + 0{,}46 \cdot 0{,}13 \ &= 0{,}54 \cdot 0{,}0169 + 0{,}46 \cdot 0{,}13 \ &= 0{,}009126 + 0{,}0598 \ &\approx 0{,}068926 \end{align*} 

Ответ на первый вопрос:
13% наименее оплачиваемого населения получают примерно 6{,}89\% совокупного дохода.

Шаг 2: Коэффициент Джини

Коэффициент Джини (неравномерности дохода) вычисляется по формуле:

G = 1 - 2 \cdot \int_0^1 y(x) \, dx

Подставим функцию y(x) = 0{,}54x^2 + 0{,}46x в интеграл:

 \begin{align*} \int_0^1 y(x) \, dx &= \int_0^1 (0{,}54x^2 + 0{,}46x) \, dx \ &= 0{,}54 \int_0^1 x^2 \, dx + 0{,}46 \int_0^1 x \, dx \ &= 0{,}54 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + 0{,}46 \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \ &= 0{,}54 \cdot \frac{1}{3} + 0{,}46 \cdot \frac{1}{2} \ &= 0{,}18 + 0{,}23 = 0{,}41 \end{align*} 

Теперь подставим в формулу Джини:

 G = 1 - 2 \cdot 0{,}41 = 1 - 0{,}82 = 0{,}18 

Ответ:

1. 13% наименее оплачиваемого населения получают примерно 6,89% совокупного дохода.
2. Коэффициент неравномерности распределения дохода (коэффициент Джини) равен 0,18.