Экономическая математика, теория неравенства доходов (кривая Лоренца и коэффициент Джини)

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая математика, теория неравенства доходов (кривая Лоренца и коэффициент Джини)

Рассмотрим данную задачу по порядку.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Кривая Лоренца ( L(z) ) используется для описания распределения доходов или богатства в обществе. Она должна удовлетворять следующим свойствам:

• ( L(0) = 0 ) и ( L(1) = 1 ),
• ( L(z) ) является неубывающей функцией,
• ( L(z) ) выпукла вниз (вогнута).

Дана функция: L(z) = 1 - \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right), \quad z \in [0,1]

Проверим граничные условия:  L(0) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0, L(1) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 0 = 1. 

Функция является неубывающей, так как ее производная:  L'(z) = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \geq 0 \quad \text{для } z \in [0,1].  Так как синус неотрицателен на данном отрезке, то функция возрастает.

Вторая производная:  L''(z) = \frac{\pi^2}{4} \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right).  Так как ( \cos(x) ) убывает на ([0, \frac{\pi}{2}]), а его значения положительны, то ( L''(z) \geq 0 ), что подтверждает выпуклость вниз.

Следовательно, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Определение точки ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 )

Найдем точку ( z_0 ), при которой первая производная ( L'(z) ) равна 1:

 L'(z) = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right). 

Решим уравнение:  \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi z_0}{2}\right) = 1. 

Отсюда:  \sin\left(\frac{\pi z_0}{2}\right) = \frac{2}{\pi}. 

Решение:  z_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}. 

3. Вычисление коэффициента Джини

Коэффициент Джини определяется как:

 G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz. 

Подставим ( L(z) ):

 G = 1 - 2 \int_0^1 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)\right) dz. 

Рассчитаем интеграл:  \int_0^1 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)\right) dz = \int_0^1 1 dz - \int_0^1 \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right) dz. 

Первый интеграл:  \int_0^1 1 dz = 1. 

Второй интеграл:  \int_0^1 \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right) dz = \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Big|_0^1 = \frac{2}{\pi} (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = \frac{2}{\pi}. 

Таким образом:  \int_0^1 L(z) dz = 1 - \frac{2}{\pi}. 

Следовательно:  G = 1 - 2 \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) = 2\frac{2}{\pi} - 1 = \frac{4}{\pi} - 1. 

Приблизительное значение:  G \approx \frac{4}{3.1416} - 1 \approx 0.273. 

Ответы:

1. Доказано, что функция ( L(z) ) является кривой Лоренца.
2. ( z_0 = \frac{4}{\pi^2} ).
3. Коэффициент Джини ( G = \frac{4}{\pi} - 1 \approx 0.273 ).