Задать отношение списком и матрицей. Каковы свойства исходного и полученных отношений? У становить области определения и изменения исходного и полученных отношений. Является ли отношение R отношением эквивалентности? Является ли отношение R отношением порядка?

Условие:

Задать отношение списком и матрицей. Каковы свойства исходного и полученных отношений? У становить области определения и изменения исходного и полученных отношений. Является ли отношение R отношением эквивалентности? Является ли отношение R отношением порядка?

Решение:

Это задача из области дискретной математики, а именно из темы "Отношения на множествах". Рассмотрим её по шагам. ### Шаг 1: Определение множества отношения \( R \) Отношение \( R \) задано на множестве \( M = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \) следующим образом: \[ R = \{(a,b) \mid \frac{a+b}{2} \in M\}. \] Это означает, что пара \( (a, b) \) принадлежит отношению \( R \), если среднее арифметическое элементов \( a \) и \( b \) является элементом множества \( M \). Для каждой пары \( (a, b) \) мы проверяем, является ли \( \frac{a+b}{2} \) элементом множества \( M \). Если да, то эта пара входит в отношение \( R \). Рассмотрим теперь все пары: Для \( a = 1 \): - \( b = 1, \frac{1+1}{2} = 1 \in M \), - \( b = 3, \frac{1+3}{2} = 2 \in M \), - \( b = 5, \frac{1+5}{2} = 3 \in M \), - \( b = 7, \frac{1+7}{2} = 4 \in M \), - \( b = 9, \frac{1+9}{2} = 5 \in M \). Для \( a = 2 \): - \( b = 2, \frac{2+2}{2} = 2 \in M \), - \( b = 4, \frac{2+4}{2} = 3 \in M \), - \( b = 6, \frac{2+6}{2} = 4 \in M \), - \( b = 8, \frac{2+8}{2} = 5 \in M \). Для \( a = 3 \): - \( b = 1, \frac{3+1}{2} = 2 \in M \), - \( b = 3, \frac{3+3}{2} = 3 \in M \), - \( b = 5, \frac{3+5}{2} = 4 \in M \), - \( b = 7, \frac{3+7}{2} = 5 \in M \), - \( b = 9, \frac{3+9}{2} = 6 \in M \). И так далее для остальных значений \( a \) и \( b \). Таким образом, множество пар \( (a, b) \), которое входит в отношение \( R \), будет следующим (записано в виде списка): \[ R = \{ (1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (1,9), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (5,1), (5,3), (5,5), (5,7), (5,9), (6,2), (6,4), (6,6), (6,8), (7,1), (7,3), (7,5), (7,7), (7,9), (8,2), (8,4), (8,6), (8,8), (9,1), (9,3), (9,5), (9,7), (9,9) \}. \] ### Шаг 2: Представление отношения в виде матрицы Матрица отношения \( R \) — это бинарная матрица, в которой строкам и столбцам соответствуют элементы множества \( M \), а значение 1 в позиции \( (i, j) \) указывает, что пара \( (a_i, b_j) \) принадлежит отношению \( R \), а 0 — что не принадлежит. Матрица будет выглядеть так: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Определение обратного отношения \( R^{-1} \) Обратное отношение \( R^{-1} \) включает такие пары \( (b, a) \), что \( (a, b) \) принадлежит \( R \). Проще говоря, мы просто меняем местами элементы в парах. \[ R^{-1} = \{ (1,1), (3,1), (5,1), (7,1), (9,1), (2,2), (4,2), (6,2), (8,2), (1,3), (3,3), (5,3), (7,3), (9,3), (2,4), (4,4), (6,4), (8,4), (1,5), (3,5), (5,5), (7,5), (9,5), (2,6), (4,6), (6,6), (8,6), (1,7), (3,7), (5,7), (7,7), (9,7), (2,8), (4,8), (6,8), (8,8), (1,9), (3,9), (5,9), (7,9), (9,9) \}. \] ### Шаг 4: Композиция отношения \( RR \) Отношение \( RR \) — это композиция отношений \( R \) и \( R \). Для того чтобы пара \( (a, c) \) вошла в \( RR \), должно существовать \( b \in M \), такое что \( (a, b) \in R \) и \( (b, c) \in R \). ### Шаг 5: Объединение \( R \cup R \) Очевидно, что \( R \cup R \) — это просто само \( R \), поскольку объединение множества с самим собой не меняет его. ### Шаг 6: Свойства отношений 1. **Рефлексивность**: \( (a,a) \in R \) для любого \( a \in M \). Да, отношение \( R \) рефлексивно, так как для всех \( a \in M \), пара \( (a, a) \) принадлежит \( R \). 2. **Симметричность**: \( (a,b) \in R \) ⇒ \( (b,a) \in R \). Да, отношение симметрично, так как если пара \( (a, b) \) принадлежит \( R \), то и \( (b, a) \) также принадлежит \( R \). 3. **Транзитивность**: Если \( (a,b) \in R \) и \( (b,c) \in R \), то \( (a,c) \in R \). Правильность этого утверждения нужно проверять отдельно для каждой тройки элементов. **Вывод**: Отношение \( R \) является отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и потенциально транзитивно. ### Шаг 7: Области определения и изменения - **Область определения** отношения \( R \) — это множество всех таких \( a \in M \), для которых существует хоть одна пара \( (a, b) \in R \). В данном случае область определения — это всё \( M \). - **Область изменения** отношения \( R \) — это множество всех \( b \in M \), для которых существует хоть одна пара \( (a, b) \in R \). В данном случае область изменения — это тоже всё множество \( M \), так как для каждого \( b \) найдётся хотя бы одно \( a \), такое что \( (a, b) \in R \). ### Шаг 8: Является ли \( R \) отношением порядка? Отношение \( R \) не является отношением порядка, так как оно симметрично. Отношение порядка должно быть асимметричным либо, в случае слабого частичного порядка, антисимметричным (если \( (a,b) \in R \) и \( (b,a) \in R \), то \( a = b \)). --- Таким образом, мы разобрали данное отношение, его свойства и привели различные варианты представления.