Задать отношение списком и матрицей. Каковы свойства исходного и полученных отношений? У становить области определения и изменения исходного и полученных отношений. Является ли отношение R отношением эквивалентности? Является ли отношение R отношением порядка?

Это задача из области дискретной математики, а именно из темы "Отношения на множествах". Рассмотрим её по шагам.

Шаг 1: Определение множества отношения $\text{(}R\text{)}$

Отношение $\text{(}R\text{)}$ задано на множестве $\text{(}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{)}$ следующим образом: $\text{[}R=\{(a,b)\mid \frac{a+b}{2}\in M\}.\text{]}$ Это означает, что пара $\text{(}(a,b)\text{)}$ принадлежит отношению $\text{(}R\text{)}$, если среднее арифметическое элементов $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$ является элементом множества $\text{(}M\text{)}$. Для каждой пары $\text{(}(a,b)\text{)}$ мы проверяем, является ли $\text{(}\frac{a+b}{2}\text{)}$ элементом множества $\text{(}M\text{)}$. Если да, то эта пара входит в отношение $\text{(}R\text{)}$. Рассмотрим теперь все пары: Для $\text{(}a=1\text{)}$: - $\text{(}b=1,\frac{1+1}{2}=1\in M\text{)}$, - $\text{(}b=3,\frac{1+3}{2}=2\in M\text{)}$, - $\text{(}b=5,\frac{1+5}{2}=3\in M\text{)}$, - $\text{(}b=7,\frac{1+7}{2}=4\in M\text{)}$, - $\text{(}b=9,\frac{1+9}{2}=5\in M\text{)}$. И так далее для остальных значений $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$. Таким образом, множество пар $\text{(}(a,b)\text{)}$, которое входит в отношение $\text{(}R\text{)}$, будет следующим (записано в виде списка): $\text{[}R=\{(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(3,9),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(5,1),(5,3),(5,5),(5,7),(5,9),(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(7,1),(7,3),(7,5),(7,7),(7,9),(8,2),(8,4),(8,6),(8,8),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7),(9,9)\}.\text{]}$

Шаг 2: Представление отношения в виде матрицы

Матрица отношения $\text{(}R\text{)}$ — это бинарная матрица, в которой строкам и столбцам соответствуют элементы множества $\text{(}M\text{)}$, а значение 1 в позиции $\text{(}(i,j)\text{)}$ указывает, что пара $\text{(}(a_i,b_j)\text{)}$ принадлежит отношению $\text{(}R\text{)}$, а 0 — что не принадлежит. Матрица будет выглядеть так: $\text{[}\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 3: Определение обратного отношения $\text{(}{R}^{-1}\text{)}$

Обратное отношение $\text{(}{R}^{-1}\text{)}$ включает такие пары $\text{(}(b,a)\text{)}$, что $\text{(}(a,b)\text{)}$ принадлежит $\text{(}R\text{)}$. Проще говоря, мы просто меняем местами элементы в парах. $\text{[}{R}^{-1}=\{(1,1),(3,1),(5,1),(7,1),(9,1),(2,2),(4,2),(6,2),(8,2),(1,3),(3,3),(5,3),(7,3),(9,3),(2,4),(4,4),(6,4),(8,4),(1,5),(3,5),(5,5),(7,5),(9,5),(2,6),(4,6),(6,6),(8,6),(1,7),(3,7),(5,7),(7,7),(9,7),(2,8),(4,8),(6,8),(8,8),(1,9),(3,9),(5,9),(7,9),(9,9)\}.\text{]}$

Шаг 4: Композиция отношения $\text{(}RR\text{)}$

Отношение $\text{(}RR\text{)}$ — это композиция отношений $\text{(}R\text{)}$ и $\text{(}R\text{)}$. Для того чтобы пара $\text{(}(a,c)\text{)}$ вошла в $\text{(}RR\text{)}$, должно существовать $\text{(}b\in M\text{)}$, такое что $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$ и $\text{(}(b,c)\in R\text{)}$.

Шаг 5: Объединение $\text{(}R\cup R\text{)}$

Очевидно, что $\text{(}R\cup R\text{)}$ — это просто само $\text{(}R\text{)}$, поскольку объединение множества с самим собой не меняет его.

Шаг 6: Свойства отношений

1. **Рефлексивность**: $\text{(}(a,a)\in R\text{)}$ для любого $\text{(}a\in M\text{)}$. Да, отношение $\text{(}R\text{)}$ рефлексивно, так как для всех $\text{(}a\in M\text{)}$, пара $\text{(}(a,a)\text{)}$ принадлежит $\text{(}R\text{)}$. 2. **Симметричность**: $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$ ⇒ $\text{(}(b,a)\in R\text{)}$. Да, отношение симметрично, так как если пара $\text{(}(a,b)\text{)}$ принадлежит $\text{(}R\text{)}$, то и $\text{(}(b,a)\text{)}$ также принадлежит $\text{(}R\text{)}$. 3. **Транзитивность**: Если $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$ и $\text{(}(b,c)\in R\text{)}$, то $\text{(}(a,c)\in R\text{)}$. Правильность этого утверждения нужно проверять отдельно для каждой тройки элементов. **Вывод**: Отношение $\text{(}R\text{)}$ является отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и потенциально транзитивно.

Шаг 7: Области определения и изменения

- **Область определения** отношения $\text{(}R\text{)}$ — это множество всех таких $\text{(}a\in M\text{)}$, для которых существует хоть одна пара $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$. В данном случае область определения — это всё $\text{(}M\text{)}$. - **Область изменения** отношения $\text{(}R\text{)}$ — это множество всех $\text{(}b\in M\text{)}$, для которых существует хоть одна пара $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$. В данном случае область изменения — это тоже всё множество $\text{(}M\text{)}$, так как для каждого $\text{(}b\text{)}$ найдётся хотя бы одно $\text{(}a\text{)}$, такое что $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$.

Шаг 8: Является ли $\text{(}R\text{)}$ отношением порядка?

Отношение $\text{(}R\text{)}$ не является отношением порядка, так как оно симметрично. Отношение порядка должно быть асимметричным либо, в случае слабого частичного порядка, антисимметричным (если $\text{(}(a,b)\in R\text{)}$ и $\text{(}(b,a)\in R\text{)}$, то $\text{(}a=b\text{)}$). --- Таким образом, мы разобрали данное отношение, его свойства и привели различные варианты представления.