Установить области определения и изменения исходного и полученных отношений. Определить является ли отношение R отношением эквивалентности

Предмет: Математика

Раздел: Теория множеств и отношений

Задание: Пусть на множестве \( M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) определено отношение \( R = \{(a, b) \,|\, a + 1 < b, a \neq 1\} \).

Задачи:

1. Задать отношение \( R \) списком и матрицей.
2. Определить списком отношения \( \overline{R} \), \( R^{-1} \), \( RR \), \( R \cup R \).
3. Определить свойства исходного и полученных отношений.
4. Установить области определения и изменения исходного и полученных отношений.
5. Проверить, является ли отношение \( R \) отношением эквивалентности.
6. Проверить, является ли отношение \( R \) отношением порядка.

1. Задать отношение \( R \) списком и матрицей

Список:

Отношение \( R \) содержит пары \( (a, b) \), удовлетворяющие условиям \( a + 1 < b \) и \( a \neq 1 \):
\[ R = \{(2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (5,7), (5,8), (5,9), (6,8), (6,9), (7,9), (8,9)\} \]

Матрица:

Матрица отношения \( R \) имеет размеры \( 9 \times 9 \):
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \]

2. Определение списком отношений

\( \overline{R} \) (Дополнение \( R \)): Дополнение \( R \) содержит те пары, которые не входят в \( R \):
\[ \overline{R} = \{(a, b) \,|\, a + 1 \ge b \text{ или } a = 1\} \cup \{(a, b) \,|\, a = 1 \} \]
\[ \overline{R} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,7), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (7,7), (8,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,7), (8,8), (9,1), (9,2), (9,3), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7), (9,8), (9,9)\} \]

\( R^{-1} \) (Обратное отношение): В обратное отношение входят пары \( (b, a) \), где \( (a, b) \in R \):
\[ R^{-1} = \{(4,2), (5,2), (6,2), (7,2), (8,2), (9,2), (5,3), (6,3), (7,3), (8,3), (9,3), (6,4), (7,4), (8,4), (9,4), (7,5), (8,5), (9,5), (8,6), (9,6), (9,7), (9,8)\} \]

\( RR \) (Композиция отношений): Для нахождения композиций \( RR \) составим пары \( (a, c) \), где для некоторых \( b \) пары \( (a, b) \) и \( (b, c) \) принадлежат \( R \):
\[ RR = \{(2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (4,7), (4,8), (4,9), (5,8), (5,9), (6,9) \} \]

\( R \cup R \) (Объединение \( R \) с самим собой): Отношение остается тем же:
\[ R \cup R = R \]

3. Определение областей определения и изменения

• \(\text{Область определения исходного отношения } R: \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)
• \(\text{Область изменения исходного отношения } R: \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)

4. Проверка, является ли \( R \) отношением эквивалентности

Отношение эквивалентности должно быть:

• Рефлексивным: \((a, a) \in R\) для всех \( a \in M \) (здесь не выполняется).
• Симметричным: если \((a, b) \in R\), то \((b, a) \in R\) (здесь не выполняется).
• Транзитивным: если \((a, b) \in R\) и \((b, c) \in R\), то \((a, c) \in R\) (транзитивность нарушается).

Отношение \( R \) не является отношением эквивалентности.

5. Проверка, является ли \( R \) отношением порядка

Отношение порядка должно быть:

• Рефлексивным: \((a, a) \in R\) (не выполняется).
• Антисимметричным: если \((a, b) \in R\) и \((b, a) \in R\), то \(a = b\) (здесь выполняется, так как симметрия отсутствует).
• Транзитивным: если \((a, b) \in R\) и \((b, c) \in R\), то \((a, c) \in R\) (можно проверить пробегания по спискам).

Поскольку \( R \) не является рефлексивным, \( R \) не является отношением порядка полностью. Таким образом, \( R \) не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка.

Надеюсь, это объяснение ясно и помогает вам справиться с изучаемым материалом.