Упростить функцию

Определение предмета и раздела:

Задание относится к дискретной математике и логике, в частности к разделу логических выражений и логике высказываний. Также связано с основами цифровой схемотехники, поскольку предполагает проектирование электрической цепи, которая реагирует на результаты голосования и включает лампочку только при наборе большинства голосов.

Шаг 1: Упрощение логической функции

Начнем с первого задания, где требуется упростить логическую функцию. Исходная функция:

\[ \overline{A}BCD \vee A\overline{B}CD \vee AB\overline{C}D \vee ABC\overline{D} \vee ABCD \]

1. Рассмотрим каждый терм функции:
   • \(\overline{A}BCD\): Логическое сложение будет, если \(A = 0\), а \(B = 1\), \(C = 1\), \(D = 1\).
   • \(A\overline{B}CD\): Логическое сложение будет, если \(A = 1\), а \(B = 0\), \(C = 1\), \(D = 1\).
   • \(AB\overline{C}D\): Логическое сложение при \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 0\), \(D = 1\).
   • \(ABC\overline{D}\): Лампочка загорится при \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 1\), \(D = 0\).
   • \(ABCD\): Этот терм говорит, что логическая функция включится и при всех значениях \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 1\), \(D = 1\).
2. Выразим функцию в более простом виде:

   Заметим, что у нас есть все возможные сочетания, когда хотя бы одна переменная равна 1 — все остальные тоже стремятся к этому. Следовательно, данную функцию можно выразить как:

   \[ A \vee B \vee C \vee D \]

   Таким образом, упрощенная функция полностью описывает условие, при котором хотя бы одна из переменных \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) равна 1.

Шаг 2: Построение электрической цепи

Теперь давайте разберемся с заданием из учебника. Нам нужно спроектировать схему для голосования четырьмя участниками, где лампочка зажигается, если за проголосовало большинство (то есть три или четыре человека).

Запишем все возможные варианты голосования:

• Предположим, что каждый член комитета будет представлять собой переменную, где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) равны 1, если участник нажимает кнопку (голосует "за" предложение), и 0, если он голосует "против".
• Лампочка загорается, если предложение собрало большинство голосов, то есть 3 или 4 голоса "за" (3 ожидается при трёх единицах, четыре — при всех единицах).

Возможные состояния:

• \(A = 1, B = 1, C = 1, D = 0\): горит лампочка;
• \(A = 1, B = 1, C = 0, D = 1\): горит лампочка;
• \(A = 1, B = 0, C = 1, D = 1\): горит лампочка;
• \(A = 0, B = 1, C = 1, D = 1\): горит лампочка;
• \(A = 1, B = 1, C = 1, D = 1\): горит лампочка.

Теперь построим логическое выражение:

\[ F = (ABC\overline{D}) \vee (AB\overline{C}D) \vee (A\overline{B}CD) \vee (\overline{A}BCD) \vee ABCD \]

Это тот же самый результат, что мы упростили в шаге 1, который можно записать как:

\[ F(A, B, C, D) = A \vee B \vee C \vee D \]

Шаг 3: Подбор элементов схемы

• Можно использовать элементы ИЛИ для каждого голоса от \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), чтобы соединить их с лампочкой.
• Для практической реализации можно использовать 4 кнопки для каждого члена комитета (обозначенные как переменные \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)) и один элемент (ИЛИ), который будет соединен с лампочкой. Лампочка зажжётся, если хотя бы три кнопки будут нажаты.

Итог:

• Упрощенная логическая функция голосования: \[ A \vee B \vee C \vee D \]
• Проектируемая электрическая цепь будет включать комбинацию кнопок и логического ИЛИ, которые зажигают лампочку, когда большинство проголосовало "за".

Теперь нам нужно реализовать схему с помощью логических элементов (ИЛИ, И, НЕ) либо релейной схемы.