Укажите пары, принадлежащие композиции

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Решение:

Композиция двух отношений ( P ) и ( T ), обозначаемая как ( P \circ T ), определяется следующим образом:

[ (a, c) \in P \circ T \iff \exists b \in A, \text{ такое что } (a, b) \in T \text{ и } (b, c) \in P. ]

1. Определим пары, принадлежащие ( P ):

Отношение ( P ) задано как:

[ P = {(a, b) \mid a, b \in A, a + b = 5}. ]

Найдем все такие пары:

[ P = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}. ]

2. Определим пары, принадлежащие ( T ):

Отношение ( T ) задано как:

[ T = {(a, b) \mid a, b \in A, 2a < b}. ]

Рассчитаем пары:

• Для ( a = 1 ): ( 2 \cdot 1 = 2 ), значит, ( b > 2 ) → ( b \in {3,4,5,6,7,8,9,10} ), пары: ( (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10) ).
• Для ( a = 2 ): ( 2 \cdot 2 = 4 ), значит, ( b > 4 ) → ( b \in {5,6,7,8,9,10} ), пары: ( (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (2,10) ).
• Для ( a = 3 ): ( 2 \cdot 3 = 6 ), значит, ( b > 6 ) → ( b \in {7,8,9,10} ), пары: ( (3,7), (3,8), (3,9), (3,10) ).
• Для ( a = 4 ): ( 2 \cdot 4 = 8 ), значит, ( b > 8 ) → ( b \in {9,10} ), пары: ( (4,9), (4,10) ).
• Для ( a = 5 ): ( 2 \cdot 5 = 10 ), значит, ( b > 10 ) → таких ( b ) нет.
• Для ( a \geq 6 ): ( 2a \geq 12 ), а ( b \leq 10 ), значит, таких пар нет.

Таким образом,

[ T = {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (2,10), (3,7), (3,8), (3,9), (3,10), (4,9), (4,10)}. ]

3. Найдем композицию ( P \circ T ):

Найдем такие пары ( (a, c) ), для которых существует ( b ), удовлетворяющее условиям:

• ( (a, b) \in T ),
• ( (b, c) \in P ).

Проверим возможные ( b ) из ( T ), которые также являются первыми элементами пар в ( P ):

• ( b = 3 ) (из ( P )): ( (3,2) ) и ( (2,3) ) есть в ( P ).
• ( b = 2 ) (из ( P )): ( (2,3) ) есть в ( P ).
• ( b = 4 ) (из ( P )): ( (4,1) ) и ( (1,4) ) есть в ( P ).

Теперь найдем пары ( (a, c) ):

• Если ( (a,3) \in T ) и ( (3,2) \in P ), то ( (a,2) \in P \circ T ).
• Если ( (a,2) \in T ) и ( (2,3) \in P ), то ( (a,3) \in P \circ T ).
• Если ( (a,4) \in T ) и ( (4,1) \in P ), то ( (a,1) \in P \circ T ).

Из этого следует, что композиция ( P \circ T ) включает пары:

[ P \circ T = {(3,1), (3,8)}. ]

4. Проверка предложенных вариантов:

• ( (6,3) \notin P \circ T ).
• ( (3,8) \in P \circ T ) ✅.
• ( (3,1) \in P \circ T ) ✅.
• ( (4,3) \notin P \circ T ).

Ответ: ( (3,8) ), ( (3,1) ).