Теория отношений и бинарных матриц

Предмет: Математика

Раздел: Теория отношений и бинарных матриц

Рассмотрим каждую матрицу и определим её свойства.

1-я матрица

[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]

• Рефлексивность: Матрица должна содержать единицы на главной диагонали. Здесь не все элементы на главной диагонали равны 1, значит, не рефлексивна.
• Симметричность: Проверяем, равна ли матрица своей транспонированной. Например, элемент (1,3) = 1, но (3,1) = 0. Значит, не симметрична.
• Антисимметричность: Если существует элемент (i,j) = 1, то (j,i) должно быть 0 (или наоборот). Здесь (1,2) = 1 и (2,1) = 1, что нарушает антисимметричность.
  Вывод: Нет ни одного из свойств явно.

2-я матрица

[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} ]

• Рефлексивность: Все элементы на главной диагонали равны 1. Значит, матрица рефлексивна.
• Симметричность: Проверяем (i, j) и (j, i). Например, (1,2) = 1 и (2,1) = 1, (3,4) = 1 и (4,3) = 1. Значит, матрица симметрична.
• Антисимметричность: Так как матрица симметрична и содержит элементы (i, j) = 1 и (j, i) = 1, она не антисимметрична.
  Вывод: Симметричность.

3-я матрица

[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]

• Рефлексивность: Все элементы на главной диагонали равны 1, значит, матрица рефлексивна.
• Симметричность: Проверяем (i, j) и (j, i). Например, (1,3) = 1 и (3,1) = 1, (2,4) = 1 и (4,2) = 1. Значит, матрица симметрична.
• Антисимметричность: Так как матрица симметрична, она не антисимметрична.
  Вывод: Рефлексивность.

Ответы:

1. Нет свойств
2. Симметричность
3. Рефлексивность