Случайные величины Х и У заданы следующими таблицами распределений

Условие:

Случайные величины Х и У заданы следующими таблицами распределений: х 0 1 2 Yi 1 2 pi 0,9 ? 0,05 pi ? 0,2 Составьте закон распределения для случайной величины Z=2X-Y. Найдите: M(z), D(z), σ(z), Р(z  3).

Решение:

Конечно, буду рад помочь с этим заданием, которое относится к разделу теории вероятностей, раздел "Дискретные случайные величины". Для начала, давайте разберемся с определением таблиц распределений для случайных величин \(X\) и \(Y\). **Таблица распределений случайной величины \(X\)**: \[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline p_x(x) & 0.9 & ? & 0.05 \\ \end{array} \] Так как сумма вероятностей должна равняться 1, мы можем найти недостающую вероятность для \(X = 1\): \[ 0.9 + p_x(1) + 0.05 = 1 \\ p_x(1) = 1 - 0.95 = 0.05 \] **Таблица распределений случайной величины \(Y\)**: \[ \begin{array}{c|c|c} y & 1 & 2 \\ \hline p_y(y) & ? & 0.2 \\ \end{array} \] Как и в предыдущем случае, сумма вероятностей должна равняться 1, поэтому: \[ p_y(1) + 0.2 = 1 \\ p_y(1) = 1 - 0.2 = 0.8 \] Теперь создадим закон распределения для случайной величины \(Z = 2X - Y\). Рассмотрим все возможные сочетания значений \(X\) и \(Y\): 1. \(X = 0, Y = 1: Z = 2(0) - 1 = -1\) 2. \(X = 0, Y = 2: Z = 2(0) - 2 = -2\) 3. \(X = 1, Y = 1: Z = 2(1) - 1 = 1\) 4. \(X = 1, Y = 2: Z = 2(1) - 2 = 0\) 5. \(X = 2, Y = 1: Z = 2(2) - 1 = 3\) 6. \(X = 2, Y = 2: Z = 2(2) - 2 = 2\) Теперь найдем соответствующие вероятности для каждой комбинации значений: \[ \begin{array}{c|c|c|c} X & p_x(X) & Y & p_y(Y) \\ \hline 0 & 0.9 & 1 & 0.8 \\ 0 & 0.9 & 2 & 0.2 \\ 1 & 0.05 & 1 & 0.8 \\ 1 & 0.05 & 2 & 0.2 \\ 2 & 0.05 & 1 & 0.8 \\ 2 & 0.05 & 2 & 0.2 \\ \end{array} \] Соответствующие вероятности для значений \(Z = 2X - Y\): 1. \(Z = -1\): \[ P(Z = -1) = P(X = 0 \text{ и } Y = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72 \] 2. \(Z = -2\): \[ P(Z = -2) = P(X = 0 \text{ и } Y = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18 \] 3. \(Z = 1\): \[ P(Z = 1) = P(X = 1 \text{ и } Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0.05 \cdot 0.8 = 0.04 \] 4. \(Z = 0\): \[ P(Z = 0) = P(X = 1 \text{ и } Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0.05 \cdot 0.2 = 0.01 \] 5. \(Z = 3\): \[ P(Z = 3) = P(X = 2 \text{ и } Y = 1) = P(X = 2)P(Y = 1) = 0.05 \cdot 0.8 = 0.04 \] 6. \(Z = 2\): \[ P(Z = 2) = P(X = 2 \text{ и } Y = 2) = P(X = 2)P(Y = 2) = 0.05 \cdot 0.2 = 0.01 \] Таким образом, закон распределения для случайной величины \(Z\) имеет вид: \[ \begin{array}{c|c} z & p_z(z) \\ \hline -2 & 0.18 \\ -1 & 0.72 \\ 0 & 0.01 \\ 1 & 0.04 \\ 2 & 0.01 \\ 3 & 0.04 \\ \end{array} \] Теперь вычислим математическое ожидание \(M(Z)\): \[ M(Z) = \sum z_i p_z(z_i) = (-2) \cdot 0.18 + (-1) \cdot 0.72 + 0 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.04 + 2 \cdot 0.01 + 3 \cdot 0.04 \] \[ M(Z) = -0.36 - 0.72 + 0 + 0.04 + 0.02 + 0.12 \] \[ M(Z) = -0.9 + 0.18 = -0.72 \] Теперь дисперсия \(D(Z)\): \[ D(Z) = \sum (z_i - M(Z))^2 p_z(z_i) \] \[ D(Z) = (-2 + 0.72)^2 \cdot 0.18 + (-1 + 0.72)^2 \cdot 0.72 + (0 + 0.72)^2 \cdot 0.01 + (1 + 0.72)^2 \cdot 0.04 + (2 + 0.72)^2 \cdot 0.01 + (3 + 0.72)^2 \cdot 0.04 \] \[ D(Z) = (-1.28)^2 \cdot 0.18 + (-0.28)^2 \cdot 0.72 + 0.72^2 \cdot 0.01 + 1.72^2 \cdot 0.04 + 2.72^2 \cdot 0.01 + 3.72^2 \cdot 0.04 \] \[ D(Z) = 1.6384 \cdot 0.18 + 0.0784 \cdot 0.72 + 0.5184 \cdot 0.01 + 2.9584 \cdot 0.04 + 7.3984 \cdot 0.01 + 13.8384 \cdot 0.04 \] \[ D(Z) = 0.294912 + 0.056448 + 0.005184 + 0.118336 + 0.073984 + 0.553536 \] \[ D(Z) = 1.1024 \] Стандартное отклонение \(σ(Z)\): \[ \sigma(Z) = \sqrt{D(Z)} = \sqrt{1.1024} \approx 1.05 \] Теперь найдем вероятность \(P(Z \geq 3)\): \[ P(Z \geq 3) = P(Z = 3) = 0.04 \] Итоговые результаты: 1. \(M(Z) = -0.72\) 2. \(D(Z) = 1.1024\) 3. \(\sigma(Z) = 1.05\) 4. \(P(Z \geq 3) = 0.04\)