Случайные величины Х и У заданы следующими таблицами распределений

Конечно, буду рад помочь с этим заданием, которое относится к разделу теории вероятностей, раздел "Дискретные случайные величины". Для начала, давайте разберемся с определением таблиц распределений для случайных величин \(X\) и \(Y\).

Таблица распределений случайной величины \(X\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline p_x(x) & 0.9 & ? & 0.05 \\ \end{array} \]

Так как сумма вероятностей должна равняться 1, мы можем найти недостающую вероятность для \(X = 1\):

\[ 0.9 + p_x(1) + 0.05 = 1 \\ p_x(1) = 1 - 0.95 = 0.05 \]

Таблица распределений случайной величины \(Y\):

\[ \begin{array}{c|c|c} y & 1 & 2 \\ \hline p_y(y) & ? & 0.2 \\ \end{array} \]

Как и в предыдущем случае, сумма вероятностей должна равняться 1, поэтому:

\[ p_y(1) + 0.2 = 1 \\ p_y(1) = 1 - 0.2 = 0.8 \]

Теперь создадим закон распределения для случайной величины \(Z = 2X - Y\). Рассмотрим все возможные сочетания значений \(X\) и \(Y\):

1. \(X = 0, Y = 1: Z = 2(0) - 1 = -1\)
2. \(X = 0, Y = 2: Z = 2(0) - 2 = -2\)
3. \(X = 1, Y = 1: Z = 2(1) - 1 = 1\)
4. \(X = 1, Y = 2: Z = 2(1) - 2 = 0\)
5. \(X = 2, Y = 1: Z = 2(2) - 1 = 3\)
6. \(X = 2, Y = 2: Z = 2(2) - 2 = 2\)

Теперь найдем соответствующие вероятности для каждой комбинации значений:

\[ \begin{array}{c|c|c|c} X & p_x(X) & Y & p_y(Y) \\ \hline 0 & 0.9 & 1 & 0.8 \\ 0 & 0.9 & 2 & 0.2 \\ 1 & 0.05 & 1 & 0.8 \\ 1 & 0.05 & 2 & 0.2 \\ 2 & 0.05 & 1 & 0.8 \\ 2 & 0.05 & 2 & 0.2 \\ \end{array} \]

Соответствующие вероятности для значений \(Z = 2X - Y\):

1. \(Z = -1\): \[ P(Z = -1) = P(X = 0 \text{ и } Y = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72 \]
2. \(Z = -2\): \[ P(Z = -2) = P(X = 0 \text{ и } Y = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18 \]
3. \(Z = 1\): \[ P(Z = 1) = P(X = 1 \text{ и } Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0.05 \cdot 0.8 = 0.04 \]
4. \(Z = 0\): \[ P(Z = 0) = P(X = 1 \text{ и } Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0.05 \cdot 0.2 = 0.01 \]
5. \(Z = 3\): \[ P(Z = 3) = P(X = 2 \text{ и } Y = 1) = P(X = 2)P(Y = 1) = 0.05 \cdot 0.8 = 0.04 \]
6. \(Z = 2\): \[ P(Z = 2) = P(X = 2 \text{ и } Y = 2) = P(X = 2)P(Y = 2) = 0.05 \cdot 0.2 =