Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью тождественных преобразований и таблицы истинности

Этот запрос относится к предмету "Математическая логика" и разделу "Логика высказываний".

Чтобы определить равносильность формул логики высказываний, нужно использовать два метода: тождественные преобразования (алгебра логики) и таблица истинности. Давайте решим задание.

Формулы:

1. \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\)
2. \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\)

Метод 1: Тождественные преобразования

1. \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\)

   Распишем импликацию: \(X \supset \neg Z \equiv \neg X \vee \neg Z\)

   Таким образом, формула преобразуется в: \[\neg (Y \vee (\neg X \vee \neg Z) \& X)\]

   Переставим скобки: \[\neg ((Y \vee \neg X \vee \neg Z) \& X)\]

   Раскроем дизъюнкцию и конъюнкцию по Де Моргану: \[\neg(Y \vee \neg X \vee \neg Z) \vee \neg X\]

2. \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\)

   Данная форма без изменений: \[(X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\]

Метод 2: Таблица истинности

Сначала составим таблицу истинности для обеих формул и проверим, являются ли они равносильными.

| X | Y | Z | \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\) | \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\) |
|---|---|---|----------------------------------------|---------------------------|
| 0 | 0 | 0 | | |
| 0 | 0 | 1 | | |
| 0 | 1 | 0 | | |
| 0 | 1 | 1 | | |
| 1 | 0 | 0 | | |
| 1 | 0 | 1 | | |
| 1 | 1 | 0 | | |
| 1 | 1 | 1 | | |

Заполним таблицу:

1. \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\):

   | X | Y | Z | \(X \supset \neg Z\) | \(Y \vee (X \supset \neg Z) \& X\) | \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\) |
   |---|---|---|---------------------|--------------------------------------|-------------------------------------------|
   | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
   | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
   | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
   | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
   | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
   | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
   | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
   | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
       

2. \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\):

   | X | Y | Z | \(X \vee Y\) | \(Z \vee \neg X\) | \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\) |
   |---|---|---|-------------|----------------|--------------------------------|
   | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
   | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
   | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
   | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
   | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
   | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
   | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
   | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
       

Сравним результаты: Таблицы истинности показывают, что иногда результаты формул совпадают, а иногда нет. Обе формулы имеют разную форму и логическую структуру, потому они неравносильны.

Таким образом, формулы \(\neg (Y \vee (X \supset \neg Z) \& X)\) и \((X \vee Y) \& (Z \vee \neg X)\) неравносильны.