Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью тождественных преобразований и таблицы истинности

Условие:

Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью тождественных преобразований и таблицы истинности

Решение:

Предмет: Математика Раздел предмета: Математическая логика Задание: Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью тождественных преобразований и таблицы истинности. Формулы: \[ \neg (Y \lor (X \to (\neg Z \land X))) \equiv (X \lor Y) \land (Z \lor \neg X) \] ### Шаг 1: Тождественные преобразования #### Легкая дизъюнкция Для начала преобразуем выражение \(X \to (\neg Z \land X)\) в эквивалентное: \[ X \to (\neg Z \land X) \equiv \neg X \lor (\neg Z \land X) \] #### Нейтральная форма Теперь используем дистрибутивное свойство: \[ \neg X \lor (\neg Z \land X) \equiv (\neg X \lor \neg Z) \land (\neg X \lor X) \] Поскольку (\(\neg X \lor X\)) всегда истинно, результат сводится к: \[ (\neg X \lor \neg Z) \] #### Подстановка результатов обратно в оригинальную формулу Теперь у нас формула: \[ \neg (Y \lor (\neg X \lor \neg Z)) \] Используя законы де Моргана, это эквивалентно: \[ \neg Y \land \neg (\neg X \lor \neg Z) \] И снова по законам де Моргана: \[ \neg Y \land (X \land Z) \] ### Шаг 2: Проверка таблицей истинности Составим таблицу истинности для обоих выражений и удостоверимся в их равносильности. | X | Y | Z | \(X \lor Y\) | \(\neg X\) | \(Z \lor \neg X\) | \((X \lor Y) \land (Z \lor \neg X)\) | \(X \to (\neg Z \land X)\) | \(Y \lor (X \to (\neg Z \land X))\) | \(\neg (Y \lor (X \to (\neg Z \land X)))\) | \((\neg Y \land (X \land Z))\) | |---|---|---|-----------|-----------|-------------|------------------------------------|-------------------------------|--------------------------------|-----------------------------------------|-------------------------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | Из таблицы видно, что выражения \(\neg (\neg X \lor \neg Z) \equiv (X \land Y \land Z)\) - \((\neg Y \land (X \land Z))\), и \(\neg (Y \lor (\neg X \lor \neg Z))\) дают одинаковые результаты, следовательно выражения равносильны. Таким образом, оба выражения эквивалентны, что подтверждено как тождественными преобразованиями, так и таблицей истинности.