Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью таблицы истинности

Условие:

Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью таблицы истинности

Решение:

Это задание относится к предмету "Математическая логика". Нужно проверить равносильность формул логики высказываний с помощью таблицы истинности. Формулы: \(-(\mathbf{Y} \lor \mathbf{X} \rightarrow \neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X}) \equiv (\mathbf{X} \lor \mathbf{Y}) \land (\mathbf{Z} \lor \neg \mathbf{X})\) 1. Преобразуем левую формулу: \[ -(\mathbf{Y} \lor \mathbf{X} \rightarrow \neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X}) \] Используем эквивалентность импликации: \[ \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B} \equiv \neg \mathbf{A} \lor \mathbf{B} \] Таким образом: \[ \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} \rightarrow \neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X} \equiv \neg (\mathbf{Y} \lor \mathbf{X}) \lor (\neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X}) \] Теперь применим отрицание: \[ -(\neg (\mathbf{Y} \lor \mathbf{X}) \lor (\neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X})) \] Применим закон де Моргана и двойное отрицание: \[ \neg \neg (\mathbf{Y} \lor \mathbf{X}) \land \neg (\neg \mathbf{Z} \land \mathbf{X}) \equiv \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} \land (\mathbf{Z} \lor \neg \mathbf{X}) \] Таким образом, левая формула эквивалентна правой: \[ (\mathbf{Y} \lor \mathbf{X}) \land (\mathbf{Z} \lor \neg \mathbf{X}). \] Теперь проверим это с помощью таблицы истинности. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{X} & \mathbf{Y} & \mathbf{Z} & \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} & \neg \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} & \neg \mathbf{Z} & \neg \mathbf{Y} \lor \mathbf{Y} \land \neg \mathbf{Z} & \neq \mathbf{Z} \land \mathbf{X} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & & & ? \\ \hline \end{array} \] Заполняем таблицу истинности для обеих формул и проверяем соответствие для всех значений переменных: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{X} & \mathbf{Y} & \mathbf{Z} & \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} & \neg \mathbf{Y} \lor \mathbf{X} & \neg \mathbf{Z} & \neg \mathbf{Y} \lor \mathbf{Y} \land \neg \mathbf{Z} & \neq \mathbf{Z} \land \mathbf{X} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0. & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & & & & ? \\ \hline 1 & 0 & 0 & & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & & & \\ \hline 0 & 1 & 0 & & & & & \\ 0 & 1 & 1 & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 0 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & \\ \hline \end{array} \] 2 неквариале емкость старота на верен.