Проверить равносильность формул логики высказываний

Условие:

Проверить равносильность формул логики высказываний с помощью тождественных преобразований и таблицы истинности

Решение:

Эта задача относится к предмету "Математическая логика" или "Логика высказываний". Для проверки равносильности формул логики высказываний использованы два метода: тождественные преобразования и таблицы истинности. 1. **Тождественные преобразования** Формула: \( Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z)) \equiv \neg X \land \neg Z \lor \neg Y \land Z \) Для начала упростим левую часть выражения \( Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z)) \): 1.1. \( Y \supset \neg(X \lor Z) \) по определению импликации эквивалентно \( \neg Y \lor \neg(X \lor Z) \): \[ Y \supset \neg(X \lor Z) \equiv \neg Y \lor \neg(X \lor Z) \] 1.2. Вложенная внутри одна отрицательная дистрибуция после упрощения: \[ \neg (X \lor Z) \equiv \neg X \land \neg Z \] Таким образом, выражение \( Y \supset \neg(X \lor Z) \) примет вид: \[ Y \supset \neg(X \lor Z) \equiv \neg Y \lor (\neg X \land \neg Z) \] 1.3. Подставляем обратно в \( Z \supset \): \[ Z \supset (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \] 1.4. Эквивалентность \( Z \supset A \equiv \neg Z \lor A \) примет вид, тогда у нас: \[ Z \supset (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \equiv \neg Z \lor (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \] 1.5. Упростим последние, раскрыв дистрибуцию: \[ \neg Z \lor (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \equiv (\neg Z \lor \neg Y) \lor (\neg Z \lor \neg X \land \neg Z) \equiv \neg Z \lor \neg Y \lor \neg X \land \neg Z \] 2. **Таблица истинности** Сравним истинностные значения каждого выражения для всех возможных сочетаний значений \(X\), \(Y\) и \(Z\). | \(X\) | \(Y\) | \(Z\) | \(\neg(X \lor Z)\) | \(Y \supset \neg(X \lor Z)\) | \(Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z))\) | \(\neg X\) | \(\neg Z\) | \(\neg X \land \neg Z\) | \(\neg Y\) | \(\neg X \land \neg Z \lor \neg Y \land Z\) | |------|------|------|-------------------|-----------------------------|--------------------------------------|---------|---------|------------------------|---------|--------------------------------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | По результатам таблицы истинности видно, что обе формулы принимают одинаковые значения во всех возможных случаях. Следовательно, они равносильны.