Проверить равносильность формул логики высказываний

Эта задача относится к предмету "Математическая логика" или "Логика высказываний".

Для проверки равносильности формул логики высказываний использованы два метода: тождественные преобразования и таблицы истинности.

1. Тождественные преобразования

Формула: \( Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z)) \equiv \neg X \land \neg Z \lor \neg Y \land Z \)

Для начала упростим левую часть выражения \( Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z)) \):

1. \( Y \supset \neg(X \lor Z) \) по определению импликации эквивалентно \( \neg Y \lor \neg(X \lor Z) \):

   \[ Y \supset \neg(X \lor Z) \equiv \neg Y \lor \neg(X \lor Z) \]

2. Вложенная внутри одна отрицательная дистрибуция после упрощения:

   \[ \neg (X \lor Z) \equiv \neg X \land \neg Z \]

3. Таким образом, выражение \( Y \supset \neg(X \lor Z) \) примет вид:

   \[ Y \supset \neg(X \lor Z) \equiv \neg Y \lor (\neg X \land \neg Z) \]

4. Подставляем обратно в \( Z \supset \):

   \[ Z \supset (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \]

5. Эквивалентность \( Z \supset A \equiv \neg Z \lor A \) примет вид, тогда у нас:

   \[ Z \supset (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \equiv \neg Z \lor (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \]

6. Упростим последние, раскрыв дистрибуцию:

   \[ \neg Z \lor (\neg Y \lor (\neg X \land \neg Z)) \equiv (\neg Z \lor \neg Y) \lor (\neg Z \lor \neg X \land \neg Z) \equiv \neg Z \lor \neg Y \lor \neg X \land \neg Z \]

2. Таблица истинности

Сравним истинностные значения каждого выражения для всех возможных сочетаний значений \(X\), \(Y\) и \(Z\).

\(X\)

\(Y\)

\(Z\)

\(\neg(X \lor Z)\)

\(Y \supset \neg(X \lor Z)\)

\(Z \supset (Y \supset \neg(X \lor Z))\)

\(\neg X\)

\(\neg Z\)

\(\neg X \land \neg Z\)

\(\neg Y\)

\(\neg X \land \neg Z \lor \neg Y \land Z\)

По результатам таблицы истинности видно, что обе формулы принимают одинаковые значения во всех возможных случаях. Следовательно, они равносильны.