Проверить истинность равенства и изобразить круги Эйлера

Это задание относится к разделу "Множества" в предмете "Дискретная математика" или "Теория множеств".

Определим задачу:

Нужно проверить истинность следующего равенства:

где:

• \(A \setminus B\) означает разность множеств — элементы, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(B\).

Мы также должны изобразить круги Эйлера для иллюстрации этих операций.

Предположим:

• \(A\), \(B\) и \(C\) — это произвольные множества.

Рассмотрим каждую часть равенства отдельно и продемонстрируем определения:

Левая часть:

1. \(A \setminus B\) — это элементы, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(B\).
2. \((A \setminus B) \setminus C\) означает, что мы берем элементы из \(A \setminus B\), которые не принадлежат множеству \(C\). Итак, левая часть содержит элементы, которые:
   • Принадлежат \(A\),
   • Не принадлежат \(B\),
   • И не принадлежат \(C\).

Правая часть:

1. \(A \setminus C\) — это элементы, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(C\).
2. \(B \setminus C\) — это элементы, которые принадлежат множеству \(B\), но не принадлежат множеству \(C\).
3. \((A \setminus C) \setminus (B \setminus C)\) — это элементы из \(A \setminus C\), которые не принадлежат \(B \setminus C\). Итак, правая часть содержит элементы, которые:
   • Принадлежат \(A\),
   • Не принадлежат \(C\),
   • И не принадлежат элементам, которые принадлежат одновременно \(B\), но не \(C\).

Проверка на множественных операциях и с помощью кругов Эйлера:

1. Для наглядности решений с помощью кругов Эйлера, представьте три пересекающихся круга, представляющих множества \(A\), \(B\) и \(C\):
2. Возьмем множество \(A\) (весь круг \(A\)).
3. Исключим из него множество \(B\) — то есть останутся только те части \(A\), которые не пересекаются с \(B\).
4. Теперь исключаем из результата любые элементы из \(C\) — т.е. будем работать только с элементами \(A\), которые не пересекаются ни с \(B\), ни с \(C\).
5. Для правой части сначала вычисляем разности с \(C\) для обоих множеств \(A\) и \(B\), представляем это на диаграмме и снова приводим разность результатных множеств.

Итог — проверка равенства:

• Оба выражения \((A \setminus B) \setminus C\) и \((A \setminus C) \setminus (B \setminus C)\) приводят к одному и тому же множеству: это элементы, которые принадлежат \(A\), но не принадлежат ни \(B\), ни \(C\).

Вывод:

Равенство верно:

Теперь тебе понятно, как это доказано?