Привести формулу логики предикатов к ПНФ

Условие:

Привести формулу логики предикатов к предваренной нормальной форме

Решение:

Эта задача принадлежит к области математической логики, раздел логики предикатов. Нам необходимо привести формулу к предваренной нормальной форме (ПНФ). Цель заключается в перемещении всех кванторов к началу формулы, без изменения её эквивалентности. Исходная формула: \[ \neg \exists x \neg \exists y F(x, y, z) \lor \exists x \forall y G(y, x) \supset \forall z H(z) \] 1. Используем эквивалентность импликации: \[A \supset B \equiv \neg A \lor B\] Тогда исходная формула примет вид: \[ ((\neg \exists x \neg \exists y F(x, y, z) \lor \exists x \forall y G(y, x)) \supset \forall z H(z)) \equiv (\neg (\neg \exists x \neg \exists y F(x, y, z) \lor \exists x \forall y G(y, x)) \lor \forall z H(z)) \] 2. Упрощаем двойное отрицание: Двойное отрицание \( \neg \neg A \equiv A \). Применяем это правило: \[ \neg (\neg (\exists x \neg \exists y F(x, y, z)) \lor \exists x \forall y G(y, x)) \lor \forall z H(z) \] 3. Применим закон де Моргана: \[ \neg (\neg A \lor B) \equив (\neg \neg A \land \neg B) и \neg (\exists x \exists y F(x, y, z)) \equив (\forall x \forall y \neg F(x, y, z)) \] \[ \neg (\exists x \neg \exists y F(x, y, z) \lor \exists x \forall y G(y, x)) \lor \forall z H(z) \equiv (\forall x \neg \neg \exists y F(x, y, z) \land \neg \exists x \forall y G(y, x)) \lor \forall z H(z) \] 4. Опять упрощаем двойное отрицание: \[ (\forall x \exists y F(x, y, z) \land \forall x \neg \forall y G(y, x)) \lor \forall z H(z) \] Применяем отрицание к кванторам и заменяем обратно на их противоположные кванторы: \[ (\forall x \exists y F(x, y, z) \land \forall x \exists y \neg G(y, x)) \lor \forall z H(z) \] 6. Извлекаем все кванторы наружу: Переобозначаем кванторы: Получаем окончательный вариант в предваренной нормальной форме: \[ \forall x \forall x_1 \exists y \exists y_1 (F(x, y, z) \land \neg G(y_1, x_1) \lor \forall z H(z)) \] Ответ: \[ \forall x \forall x_1 \exists y \exists y_1 (F(x, y, z) \land \neg G(y_1, x_1) \lor \forall z H(z)) \]