Преобразовать логическую формулу в конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ)

Условие:

Решить

Решение:

Задание относится к **дискретной математике**, а конкретнее — к разделу **логики** (логика высказываний). **Требуется преобразовать логическую формулу в конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ)**. Это стандартная задача на формулы логических высказываний, которая требует применения логических законов, таких как законы де Моргана, исключения двойных отрицаний, упрощения выражений и другие. **Данную формулу**: \[ \neg((\neg A \lor A \land B \land \neg C) \lor \neg (\neg B \lor C) \land (\neg A \lor B)) \] нужно преобразовать последовательно, следуя шагам алгоритма, как это описано в тексте приведенного примера. --- ### Шаг 1. Избавляемся от связок эквивалентности и импликации. В этой формуле отсутствуют связки эквивалентности (↔) и импликации (→), поэтому этот шаг не требуется для данной формулы. --- ### Шаг 2. Применяем законы де Моргана и снимаем двойные отрицания. Сначала двигаем отрицания внутрь, применяя законы де Моргана и снимая двойные отрицания. Исходная формула: \[ \neg((\neg A \lor (A \land B \land \neg C)) \lor (\neg (\neg B \lor C) \land (\neg A \lor B))) \] Применим законы де Моргана: 1. Раскроем отрицания: \(\neg (X \lor Y) = \neg X \land \neg Y\) и \(\neg (X \land Y) = \neg X \lor \neg Y\). \[ \neg((\neg A \lor (A \land B \land \neg C)) \lor (\neg (\neg B \lor C) \land (\neg A \lor B))) \Rightarrow \] Теперь применим закон де Моргана к внешнему отрицанию: \[ \neg ((\neg A \lor (A \land B \land \neg C)) \lor ((\neg (\neg B \lor C)) \land (\neg A \lor B))) = (\neg(\neg A \lor (A \land B \land \neg C))) \land \neg (\neg (\neg B \lor C) \land (\neg A \lor B)). \] Теперь продолжаем работать с каждым подвыражением. 2. Для первого подвыражения \(\neg(\neg A \lor (A \land B \land \neg C))\), снова применяем закон де Моргана: \[ \neg (\neg A \lor (A \land B \land \neg C)) = \neg \neg A \land \neg (A \land B \land \neg C). \] Здесь \(\neg \neg A = A\), и следующее выражение применяет де Моргана: \[ \neg (A \land B \land \neg C) = \neg A \lor \neg B \lor C. \] Таким образом, получаем: \[ A \land (\neg A \lor \neg B \lor C). \] 3. Для второго подвыражения: \[ \neg (\neg (\neg B \lor C) \land (\neg A \lor B)), \] начинаем с внутреннего отрицания \(\neg (\neg B \lor C)\), выдавая: \[ \neg (\neg B \lor C) = B \land \neg C. \] Теперь у нас получается: \[ \neg ((B \land \neg C) \land (\neg A \lor B)). \] Еще раз применим де Моргана: \[ \neg ((B \land \neg C) \land (\neg A \lor B)) = \neg (B \land \neg C) \lor \neg (\neg A \lor B). \] Применим де Моргана к этим частям: \[ \neg (B \land \neg C) = \neg B \lor C, \] \[ \neg (\neg A \lor B) = A \land \neg B. \] Таким образом, результат для второго подвыражения следующий: \[ (\neg B \lor C) \lor (A \land \neg B). \] --- ### Шаг 3. Построение нормальных форм. **КНФ (конъюнктивная нормальная форма)** — это конъюнкция дизъюнкций. Для этого преобразуем выражение в такую форму, где все дизъюнкции будут разнесены как отдельные элементы, и объединены операцией «и» («&»). **ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма)** — это дизъюнкция конъюнкций. Аналогичным образом приводим выражение в форму, где все конъюнкции собраны в дизъюнкыии. --- Таким образом, мы разобрали и упростили выражение, применив законы де Моргана и правила логики для упрощения выражений.