Построить схему для переключательной функции

Предмет: Дискретная математика/Теория переключательных схем

Раздел: Булева алгебра

Задание:

Необходимо:

1. Построить схему для переключательной функции: \[ f(x, y, z) = z (\overline{y \overline{z} \lor \overline{y} (\overline{y} \lor \overline{x} \land \overline{z})}) \]
2. Упростить формулу данной функции.
3. Построить новую схему для упрощенной формулы.

Шаг 1: Построение функции

Разберем функцию поэтапно. Для начала запишем ее в более понятной форме и произведем раскрытие операции отрицаний и логических операций.

Полная запись функции:

Внутренняя часть выражения:

1. Рассмотрим выражение \( \overline{y} \lor (\overline{x} \land \overline{z}) \):

   Это дизъюнкция (логическое "или") между \( \overline{y} \) и конъюнкцией \( \overline{x} \land \overline{z} \).

   Итог: \( \overline{y} \lor (\overline{x} \land \overline{z}) \)

2. Рассмотрим \( \overline{y} (\overline{y} \lor (\overline{x} \land \overline{z})) \):

   Здесь действует конъюнкция (логическое "и") между \( \overline{y} \) и результатом предыдущего шага.

   Поскольку \( \overline{y} \land (\overline{y} \lor A) = \overline{y} \), итог:

   \[ \overline{y} \]

3. Теперь рассмотрим выражение \( (y \overline{z}) \lor \overline{y} \):

   Это дизъюнкция \( y \land \overline{z} \) с \( \overline{y} \).

   Итог:

   \[ y \overline{z} \lor \overline{y} \]

Применение отрицания:

Теперь применим отрицание к результату:

По законам Деморгана:

Итак, выражение после упрощения:

Шаг 2: Упрощение функции

Поскольку \( z \land z = z \), то окончательно функция упрощается до:

Шаг 3: Построение схемы

1. Входы функции — это \( x \), \( y \), \( z \).
2. Финальная схема будет реализовать конъюнкцию \( y \land z \).

Схема для исходной функции:

• На вход поступают переменные \( x \), \( y \), \( z \).
• Через 2 NOT-элемента производится инвертирование значений \( y \), \( z \) и \( x \).
• Используются логические элементы AND, OR и NOT для составления функции.

Схема для упрощенной функции:

Для \( f(x, y, z) = y \land z \) схема будет состоять из одного элемента AND, к которому подаются переменные \( y \) и \( z \).

Ответ:

1. Упрощенная формула: \( f(x, y, z) = y \land z \).
2. Схема состоит из одного элемента AND.

Рассмотрим итоговую функцию: