Построить схему для переключательной функции

Предмет: Дискретная математика/Теория переключательных схем

Раздел: Булева алгебра

Задание:

Необходимо:

1. Построить схему для переключательной функции: $\text{[}f(x,y,z)=z(\overline{y\overline{z}\vee \overline{y}(\overline{y}\vee \overline{x}\wedge \overline{z})})\text{]}$
2. Упростить формулу данной функции.
3. Построить новую схему для упрощенной формулы.

Шаг 1: Построение функции

Разберем функцию поэтапно. Для начала запишем ее в более понятной форме и произведем раскрытие операции отрицаний и логических операций.

Полная запись функции:

Внутренняя часть выражения:

1. Рассмотрим выражение $\text{(}\overline{y}\vee (\overline{x}\wedge \overline{z})\text{)}$:

   Это дизъюнкция (логическое "или") между $\text{(}\overline{y}\text{)}$ и конъюнкцией $\text{(}\overline{x}\wedge \overline{z}\text{)}$.

   Итог: $\text{(}\overline{y}\vee (\overline{x}\wedge \overline{z})\text{)}$

2. Рассмотрим $\text{(}\overline{y}(\overline{y}\vee (\overline{x}\wedge \overline{z}))\text{)}$:

   Здесь действует конъюнкция (логическое "и") между $\text{(}\overline{y}\text{)}$ и результатом предыдущего шага.

   Поскольку $\text{(}\overline{y}\wedge (\overline{y}\vee A)=\overline{y}\text{)}$, итог:

   $\text{[}\overline{y}\text{]}$

3. Теперь рассмотрим выражение $\text{(}(y\overline{z})\vee \overline{y}\text{)}$:

   Это дизъюнкция $\text{(}y\wedge \overline{z}\text{)}$ с $\text{(}\overline{y}\text{)}$.

   Итог:

   $\text{[}y\overline{z}\vee \overline{y}\text{]}$

Применение отрицания:

Теперь применим отрицание к результату:

По законам Деморгана:

Итак, выражение после упрощения:

Шаг 2: Упрощение функции

Поскольку $\text{(}z\wedge z=z\text{)}$, то окончательно функция упрощается до:

Шаг 3: Построение схемы

1. Входы функции — это $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$.
2. Финальная схема будет реализовать конъюнкцию $\text{(}y\wedge z\text{)}$.

Схема для исходной функции:

• На вход поступают переменные $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$.
• Через 2 NOT-элемента производится инвертирование значений $\text{(}y\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$ и $\text{(}x\text{)}$.
• Используются логические элементы AND, OR и NOT для составления функции.

Схема для упрощенной функции:

Для $\text{(}f(x,y,z)=y\wedge z\text{)}$ схема будет состоять из одного элемента AND, к которому подаются переменные $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}z\text{)}$.

Ответ:

1. Упрощенная формула: $\text{(}f(x,y,z)=y\wedge z\text{)}$.
2. Схема состоит из одного элемента AND.

Рассмотрим итоговую функцию: