Построить инъективное, сюръективное, биективное отображения между множествами

Данный тип задачи попадает под предмет "Математика", а более конкретно — под раздел "Теория множеств и функции".

Для начала, давайте разберем понятия инъективного, сюръективного и биективного отображений:

1. Инъективное отображение (инъекция)— это функция \( f: A \to B \), такая, что разные элементы множества \( A \) отображаются в разные элементы множества \( B \). То есть, если \( a_1 \neq a_2 \), тогда \( f(a_1) \neq f(a_2) \).
2. Сюръективное отображение (сюръекция) — это функция \( f: A \to B \), такая, что каждый элемент множества \( B \) имеет хотя бы один прообраз в множестве \( A \). То есть, для любого \( b \in B \) существует такой элемент \( a \in A \), что \( f(a) = b \).
3. Биективное отображение (биекция) — это функция, которая одновременно является и инъективной, и сюръективной. Это отображение, которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами множества \( A \) и \( B \).

Инъективное отображение

Построим одно из возможных инъективных отображений между множествами \( A \) и \( B \). Пример: \[ f(a) = 5, \quad f(b) = 7, \quad f(c) = 9, \quad f(d) = 10 \] Каждый элемент множества \( A \) отображается в разные элементы множества \( B \), и поэтому функция инъективна.

Сюръективное отображение

Так как множества \( A \) и \( B \) имеют одинаковую мощность (то есть одинаковое количество элементов), построить сюръективное отображение между ними — это также создать биекцию. Один из возможных примеров сюръекции: \[ f(a) = 7, \quad f(b) = 9, \quad f(c) = 10, \quad f(d) = 5 \] Здесь каждый элемент множества \( B \) имеет прообраз в множестве \( A \), функция сюръективна.

Биективное отображение

Мы уже указали, что любое сюръективное отображение между множествами одинаковой мощности также будет биективным, и наоборот. Пример биективного отображения (которое тоже инъективно и сюръективно): \[ f(a) = 10, \quad f(b) = 5, \quad f(c) = 7, \quad f(d) = 9 \] Очевидно, что каждому элементу множества \( A \) соответствует ровно один уникальный элемент множества \( B \), и каждый элемент \( B \) имеет ровно один прообраз в \( A \).