Построить инъективное, сюръективное, биективное отображения между множествами

Условие:

Построить инъективное, сюръективное, биективное отображения между множествами A = {a, b, c, d}, B = {5, 7, 9, 10}.

Решение:

Данный тип задачи попадает под предмет "Математика", а более конкретно — под раздел "Теория множеств и функции". Для начала, давайте разберем понятия инъективного, сюръективного и биективного отображений: 1. **Инъективное отображение (инъекция)**— это функция \( f: A \to B \), такая, что разные элементы множества \( A \) отображаются в разные элементы множества \( B \). То есть, если \( a_1 \neq a_2 \), тогда \( f(a_1) \neq f(a_2) \). 2. **Сюръективное отображение (сюръекция)** — это функция \( f: A \to B \), такая, что каждый элемент множества \( B \) имеет хотя бы один прообраз в множестве \( A \). То есть, для любого \( b \in B \) существует такой элемент \( a \in A \), что \( f(a) = b \). 3. **Биективное отображение (биекция)** — это функция, которая одновременно является и инъективной, и сюръективной. Это отображение, которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами множества \( A \) и \( B \). ### Инъективное отображение Построим одно из возможных инъективных отображений между множествами \( A \) и \( B \). Пример: \[ f(a) = 5, \quad f(b) = 7, \quad f(c) = 9, \quad f(d) = 10 \] Каждый элемент множества \( A \) отображается в разные элементы множества \( B \), и поэтому функция инъективна. ### Сюръективное отображение Так как множества \( A \) и \( B \) имеют одинаковую мощность (то есть одинаковое количество элементов), построить сюръективное отображение между ними — это также создать биекцию. Один из возможных примеров сюръекции: \[ f(a) = 7, \quad f(b) = 9, \quad f(c) = 10, \quad f(d) = 5 \] Здесь каждый элемент множества \( B \) имеет прообраз в множестве \( A \), функция сюръективна. ### Биективное отображение Мы уже указали, что любое сюръективное отображение между множествами одинаковой мощности также будет биективным, и наоборот. Пример биективного отображения (которое тоже инъективно и сюръективно): \[ f(a) = 10, \quad f(b) = 5, \quad f(c) = 7, \quad f(d) = 9 \] Очевидно, что каждому элементу множества \( A \) соответствует ровно один уникальный элемент множества \( B \), и каждый элемент \( B \) имеет ровно один прообраз в \( A \). Во всех трех случаях показано соответствующее отображение между множествами \( A \) и \( B \): инъективное, сюръективное, и биективное.