Задание относится к курсу дискретной математики, а конкретно — к разделу булевой алгебры (логические функции) и преобразованию логических выражений в полином Жегалкина.
Задача: Получить полином Жегалкина для логической функции: \[ f(x, y, z) = (x \land y \land z) \lor (\neg x \land y) \]
Шаги преобразования:
- Составим таблицу истинности для функции:
- Логическая функция имеет 3 переменные: \( x \), \( y \), \( z \).
- Комбинируем все возможные значения для \( x \), \( y \), и \( z \) (всего 8 различных комбинаций булевых значений \( 0 \) и \( 1 \)).
| \( x \) |
\( y \) |
\( z \) |
\( x \land y \land z \) |
\( \neg x \land y \) |
\( f(x, y, z) \) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
- Применим метод Жегалкина:
Полином Жегалкина строится как линейная комбинация переменных с использованием операций \( \oplus \) (сложения по модулю 2) и умножения \( \land \) (конъюнкция):
\[ f(x, y, z) = a_0 \oplus a_1 x \oplus a_2 y \oplus a_3 z \oplus a_4 xy \oplus a_5 xz \oplus a_6 yz \oplus a_7 xyz \]
Для этого начинаем находить коэффициенты \( a \) методом последовательных разностей.
- Нахождение коэффициентов:
- \( a_0 \) — это значение функции при всех аргументах, равных нулю: \( f(0,0,0) = 0 \).
- Следующие коэффициенты \( a_i \) вычисляются через последовательные разности значений функции:
- \( a_1 = f(1,0,0) \oplus f(0,0,0) = 0 \oplus 0 = 0 \),
- \( a_2 = f(0,1,0) \oplus f(0,0,0) = 1 \oplus 0 = 1 \),
- \( a_3 = f(0,0,1) \oplus f(0,0,0) = 0 \oplus 0 = 0 \),
- \( a_4 = f(1,1,0) \oplus f(1,0,0) \oplus f(0,1,0) \oplus f(0,0,0) = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 1 \),
- \( a_5 = f(1,0,1) \oplus f(1,0,0) = 0 \oplus 0 = 0 \),
- \( a_6 = f(0,1,1) \oplus f(0,1,0) = 1 \oplus 1 = 0 \),
- \( a_7 = f(1,1,1) \oplus f(1,1,0) \oplus f(1,0,1) \oplus f(1,0,0) = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 0 = 1 \).
- Запишем полином Жегалкина:
Используя найденные коэффициенты, получаем:
\[ f(x, y, z) = a_2 y \oplus a_4 xy \oplus a_7 xyz \]
Подставляя коэффициенты:
Ответ:
Полином Жегалкина для функции \( f(x, y, z) = (x \land y \land z) \lor (\neg x \land y) \) равен: