Отношения и их свойства (отношения эквивалентности)

Определение предмета и раздела:

Предмет: Дискретная математика
Раздел: Отношения и их свойства (отношения эквивалентности)

Анализ матрицы отношения:

Матрица отношения ( C ) дана в виде:

 C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} 

Проверим свойства отношения:

1. Рефлексивность:

   • В главной диагонали стоят единицы, значит, каждое множество содержит элемент, связанный с самим собой.
   • Следовательно, отношение рефлексивно.

2. Симметричность:

   • Если элемент ( (i, j) = 1 ), то должен выполняться и ( (j, i) = 1 ).
   • Проверяем:
     • Для ( (2,3) = 1 ) и ( (3,2) = 1 ) ✅
     • Для ( (4,5) = 1 ) и ( (5,4) = 1 ) ✅
     • Для ( (5,6) = 1 ) и ( (6,5) = 1 ) ✅
   • Отношение симметрично.

3. Транзитивность:

   • Если ( (i, j) = 1 ) и ( (j, k) = 1 ), то должно выполняться ( (i, k) = 1 ).
   • Например:
     • ( (2,3) = 1 ) и ( (3,2) = 1 ), значит, транзитивность выполняется.
     • ( (4,5) = 1 ) и ( (5,6) = 1 ), значит, ( (4,6) = 1 ), что подтверждается матрицей. ✅
   • Отношение транзитивно.

Вывод:

Отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Глядя на структуру блоков единиц в матрице, можно выделить 3 класса эквивалентности:

1. ({1})
2. ({2,3})
3. ({4,5,6})

Таким образом, верный ответ: ✅ ( S ) — отношение эквивалентности с 3 классами смежности.