Определите, является ли отображение иньективным, сюрьективным и биективным. 5. Найдите произведение FG отображений

Условие:

4. Определите, является ли отображение F : 1; e' → [0;3], F(x) = 1n(x) +1 иньективным, сюрьективным и биективным. 5. Найдите произведение FG отображений F : R → R, F(x) = 3x- 1 # G: R → R , G(x) = sin x

Решение:

Эти задания относятся к предмету **математика**, а именно к разделу **математический анализ** и **теория функций**. ### Задание 4 #### Инъективность: Проверим, является ли отображение \( F(x) = \ln(x) + 1 \) инъективным. Отображение называется инъективным, если для любых \( x_1 \) и \( x_2 \): \[ F(x_1) = F(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \] Рассмотрим: \[ \ln(x_1) + 1 = \ln(x_2) + 1 \] \[ \Rightarrow \ln(x_1) = \ln(x_2) \] \[ \Rightarrow x_1 = x_2 \] Так как мы показали, что равенство \( F(x_1) = F(x_2) \) влечет \( x_1 = x_2 \), значит \( F(x) \) инъективное отображение. #### Сюръективность: Проверим, является ли отображение \( F(x) = \ln(x) + 1 \) сюръективным. Отображение сюръективно, если для любого \( y \) из множества значений (в данном случае [0; 3]), существует такое \( x \) из области определения (в данном случае [1; e^2]), что \( F(x) = y \). \[ y = \ln(x) + 1 \] \[ y - 1 = \ln(x) \] \[ x = e^{y - 1} \] Теперь проверим, принадлежит ли \( x \) интервалу [1, e^2]: Для \( y = 0 \): \[ x = e^{0 - 1} = e^{-1} \approx 0.3679 \text{ (не принадлежит [1, e^2])} \] Для \( y = 3 \): \[ x = e^{3 - 1} = e^2 \text{ (принадлежит [1, e^2])} \] Таким образом, при \( y = 0 \), не существует \( x \), такого что \( F(x) = 0 \) из заданного интервала, следовательно отображение \( F(x) \) не является сюръективным. #### Биективность: Так как отображение \( F(x) \) инъективно, но не сюръективно, то оно не является биективным. ### Задание 5 Найдем произведение отображений \( FG \). Отображение \( FG \) определяется как \( (FG)(x) = F(G(x)) \). Пусть \( F(x) = 3x - 1 \) и \( G(x) = \sin(x) \). Тогда: \[ (FG)(x) := F(G(x)) = F(\sin(x)) = 3\sin(x) - 1 \] Таким образом: \[ (FG)(x) = 3\sin(x) - 1 \] Объяснение завершено.