Определите, является ли отображение иньективным, сюрьективным и биективным. 5. Найдите произведение FG отображений

Эти задания относятся к предмету математика, а именно к разделу математический анализ и теория функций.

Задание 4

Инъективность:

Проверим, является ли отображение \( F(x) = \ln(x) + 1 \) инъективным. Отображение называется инъективным, если для любых \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ F(x_1) = F(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]

Рассмотрим:

\[ \ln(x_1) + 1 = \ln(x_2) + 1 \]

\[ \Rightarrow \ln(x_1) = \ln(x_2) \]

\[ \Rightarrow x_1 = x_2 \]

Так как мы показали, что равенство \( F(x_1) = F(x_2) \) влечет \( x_1 = x_2 \), значит \( F(x) \) инъективное отображение.

Сюръективность:

Проверим, является ли отображение \( F(x) = \ln(x) + 1 \) сюръективным. Отображение сюръективно, если для любого \( y \) из множества значений (в данном случае [0; 3]), существует такое \( x \) из области определения (в данном случае [1; e^2]), что \( F(x) = y \).

\[ y = \ln(x) + 1 \]

\[ y - 1 = \ln(x) \]

\[ x = e^{y - 1} \]

Теперь проверим, принадлежит ли \( x \) интервалу [1, e^2]:
Для \( y = 0 \):

\[ x = e^{0 - 1} = e^{-1} \approx 0.3679 \text{ (не принадлежит [1, e^2])} \]

Для \( y = 3 \):

\[ x = e^{3 - 1} = e^2 \text{ (принадлежит [1, e^2])} \]

Таким образом, при \( y = 0 \), не существует \( x \), такого что \( F(x) = 0 \) из заданного интервала, следовательно отображение \( F(x) \) не является сюръективным.

Биективность:

Так как отображение \( F(x) \) инъективно, но не сюръективно, то оно не является биективным.

Задание 5

Найдем произведение отображений \( FG \). Отображение \( FG \) определяется как \( (FG)(x) = F(G(x)) \). Пусть \( F(x) = 3x - 1 \) и \( G(x) = \sin(x) \). Тогда:

\[ (FG)(x) := F(G(x)) = F(\sin(x)) = 3\sin(x) - 1 \]

Таким образом:

\[ (FG)(x) = 3\sin(x) - 1 \]

Объяснение завершено.