Определить, являются ли следующие функции сюрьективными

Для решения данной задачи необходимо определить, являются ли следующие функции сюрьективными.

Сюръективная функция (или отображение) — это функция $\text{(}f:X\to Y\text{)}$, которая сопоставляет каждому $\text{(}y\in Y\text{)}$ хотя бы один элемент $\text{(}x\in X\text{)}$, такой что $\text{(}f(x)=y\text{)}$. Проще говоря, каждая точка множества $\text{(}Y\text{)}$ должна иметь прообраз в множестве $\text{(}X\text{)}$.

а) $\text{(}F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=7x-11\text{)}$

Рассмотрим функцию: $\text{[}y=7x-11\text{]}$ Чтобы выяснить, является ли функция сюръективной, мы решим уравнение относительно $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}y+11=7x\text{]}\text{[}x=\frac{y+11}{7}\text{]}$ Так как $\text{(}x\text{)}$ существует для любого значения $\text{(}y\in \mathbb{R}\text{)}$, функция является сюръективной.

б) $\text{(}F:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0},F(x)=5^x+5\text{)}$

Рассмотрим функцию: $\text{[}y=5^x+5\text{]}$ Чтобы выяснить, является ли эта функция сюръективной, перепишем её: $\text{[}y-5=5^x\text{]}$ Заметим, что $\text{(}{5}^x>0\text{)}$ для всех $\text{(}x\in \mathbb{R}\text{)}$. Следовательно, $\text{(}y-5\ge 1\Rightarrow y\ge 6\text{)}$. Так как $\text{(}y\text{)}$ не может быть меньше 6, эта функция не является сюръективной на $\text{(}{\mathbb{R}}_{>0}\text{)}$.

в) $\text{(}F:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0},F(x)=5^x\text{)}$

Рассмотрим функцию: $\text{[}y=5^x\text{]}$ Эта функция $\text{(}F(x)=5^x\text{)}$ может принимать все положительные значения (значения множества $\text{(}{\mathbb{R}}_{>0}\text{)}$), так как $\text{(}{5}^x>0\text{)}$ для всех $\text{(}x\in \mathbb{R}\text{)}$, и может принимать любые положительные значения при соответствующих значениях $\text{(}x\text{)}$. Следовательно, функция является сюръективной.

г) $\text{(}F:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0},F(x)=|x|\text{)}$

Рассмотрим функцию: $\text{[}y=|x|\text{]}$ Эта функция принимает значения $\text{(}y\ge 0\text{)}$ для $\text{(}x\in \mathbb{R}\text{)}$. Однако на множестве $\text{(}{\mathbb{R}}_{>0}\text{)}$ у нас $\text{(}y\text{)}$ должно быть строго положительным, что не достигается, так как $\text{(}|x|\text{)}$ тоже может равняться нулю ($\text{(}|0|=0\text{)}$). Таким образом, эта функция не является сюръективной на множестве $\text{(}{\mathbb{R}}_{>0}\text{)}$.