Определить, являются ли следующие функции сюрьективными

Для решения данной задачи необходимо определить, являются ли следующие функции сюрьективными.

Сюръективная функция (или отображение) — это функция \(f: X \to Y\), которая сопоставляет каждому \(y \in Y\) хотя бы один элемент \(x \in X\), такой что \(f(x) = y\). Проще говоря, каждая точка множества \(Y\) должна иметь прообраз в множестве \(X\).

а) \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = 7x - 11\)

Рассмотрим функцию: \[ y = 7x - 11 \] Чтобы выяснить, является ли функция сюръективной, мы решим уравнение относительно \(x\): \[ y + 11 = 7x \] \[ x = \frac{y + 11}{7} \] Так как \(x\) существует для любого значения \(y \in \mathbb{R}\), функция является сюръективной.

б) \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, F(x) = 5^x + 5\)

Рассмотрим функцию: \[ y = 5^x + 5 \] Чтобы выяснить, является ли эта функция сюръективной, перепишем её: \[ y - 5 = 5^x \] Заметим, что \(5^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно, \(y - 5 \geq 1 \Rightarrow y \geq 6\). Так как \(y\) не может быть меньше 6, эта функция не является сюръективной на \(\mathbb{R}_{>0}\).

в) \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, F(x) = 5^x\)

Рассмотрим функцию: \[ y = 5^x \] Эта функция \(F(x) = 5^x\) может принимать все положительные значения (значения множества \(\mathbb{R}_{>0}\)), так как \(5^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), и может принимать любые положительные значения при соответствующих значениях \(x\). Следовательно, функция является сюръективной.

г) \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, F(x) = |x|\)

Рассмотрим функцию: \[ y = |x| \] Эта функция принимает значения \(y \geq 0\) для \(x \in \mathbb{R}\). Однако на множестве \(\mathbb{R}_{>0}\) у нас \(y\) должно быть строго положительным, что не достигается, так как \( |x|\) тоже может равняться нулю (\( |0| = 0\)). Таким образом, эта функция не является сюръективной на множестве \( \mathbb{R}_{>0}\).