Определить, является ли этот граф деревом

Определение предмета:

Ваше задание относится к курсу дискретной математики (графы) и программированию на языке Python. Тема задания — деревья и алгоритмы работы с графами.

Условие (анализ):

У нас есть неориентированный граф, описанный матрицей смежности. Нужно определить, является ли этот граф деревом.

Свойства дерева:

1. Дерево не содержит циклов.
2. Связность: все вершины соединены между собой.
3. Количество рёбер в дереве всегда \ N - 1 \, где N — количество вершин.

Шаги решения:

1. Граф не должен содержать циклов — это важный показатель дерева.
2. Граф должен быть связным, что значит, что можно добраться из любой вершины в любую другую.
3. Количество рёбер должно быть равно N - 1, где N — количество вершин.

Решение:

Для решения задачи мы будем:

1. Вводить матрицу смежности.
2. Проверять компоненты связности с помощью поиска в глубину (DFS), чтобы убедиться, что граф связен.
3. Проверять, что рёбер ровно N - 1.
4. Проверять отсутствие циклов также с помощью DFS.

Python-код:

def dfs(v, visited, graph):
    visited[v] = True
    for u in range(len(graph)):
        if graph[v][u] == 1 and not visited[u]:
            dfs(u, visited, graph)

def is_tree(graph, N):
    # Сначала проверим, что количество рёбер равно N - 1
    edge_count = sum(sum(row) for row in graph) // 2
    if edge_count != N - 1:
        return False

    # Теперь проверим связность графа с помощью DFS
    visited = [False] * N
    dfs(0, visited, graph)

    # Если после DFS все вершины посещены, граф связен
    if not all(visited):
        return False

    # Проверили, что связен и имеет N-1 ребро - это дерево
    return True

# Чтение данных
N = int(input())
graph = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]
if is_tree(graph, N):
    print("YES")
else:
    print("NO")

Подробное объяснение:

1. Функция dfs:
   • Это стандартная реализация поиска в глубину (DFS), которая рекурсивно проходит по графу, помечая все посещённые вершины.
2. Функция is_tree:
   • Сначала проверяется количество рёбер. Для этого мы суммируем все элементы матрицы, так как каждое ребро представлено двумя элементами в матрице смежности. Мы делим сумму на 2, чтобы получить точное количество рёбер.
   • Далее выполняется DFS из первой вершины (индекс 0), и помечаются все вершины, которые можно достичь. Если после обхода все вершины посещены, граф является связным.
   • Если граф связен и количество рёбер равно N - 1, то это дерево.
3. Чтение данных:
   • Вводится матрица смежности и число вершин N.

Пример:

Входные данные:

4
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0

Объяснение:

• Это граф из 4 вершин. Количество рёбер: 3 (это соответствует N - 1).
• Граф связен, так как можно добраться из любой вершины в любую другую.
• Нет циклов. Граф является деревом.

Выходные данные:

YES

Итог:

Мы написали решение с использованием поиска в глубину (DFS) для проверки связности и ограничения на количество рёбер в неориентированном графе, чтобы убедиться, что он является деревом.