Определить свойства отношения R, заданного матрицей0010

Данный текст задания относится к предмету "дискретная математика", раздел "отношения и их свойства".

Разбор задания:

1. Определить свойства отношения \( R \), заданного матрицей:

Данная матрица: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Определяет бинарное отношение на множестве \( M = \{1, 2, 3\} \).

Постановка вопроса:

Требуется:

1. Определить свойства данного отношения, используя матрицу.
2. Выполнить операции над отношением.

Шаг 1: Восстановим отношение, заданное матрицей

• В элементе матрицы \( a_{ij} \) цифра "1" означает, что между элементами \( i \) и \( j \) отношение выполняется, а "0" — что не выполняется.
• Ряды матрицы соответствуют элементам множества \( M = \{1, 2, 3\} \). Столбцы также относятся к элементам множества. Отношение \( R \) можно записать в виде множества пар: \[ R = \{ (1, 2), (2, 2), (3, 1) \} \]

Шаг 2: Определим свойства отношения

Анализируем стандартные свойства отношения:

• Рефлексивность: Для того чтобы отношение было рефлексивным, каждая пара вида \( (i, i) \) должна принадлежать \( R \). Это означает, что на главной диагонали матрицы все элементы должны быть единицами. Условие нарушено, так как только элемент \( (2, 2) \) равен 1, остальные элементы на диагонали (1, 1) и (3, 3) равны 0. Следовательно, отношение не рефлексивно.
• Симметричность: Если для пары \( (i, j) \) существует обратная пара \( (j, i) \), то отношение симметрично. Например, у нас есть пара \( (1, 2) \), но нет обратной пары \( (2, 1) \). То же самое применимо к паре \( (3, 1) \) — отсутствует пара \( (1, 3) \). Это показывает, что отношение не симметрично.
• Антисимметричность: Если существует пара \( (i, j) \) и обратная \( (j, i) \), то \( i \) должно быть равно \( j \) для соблюдения антисимметричности. У нас есть пары \( (1, 2) \) и \( (3, 1) \), но для них отсутствуют обратные. Поэтому, условие антисимметричности не нарушено, значит отношение антисимметрично.
• Транзитивность: Если существует пары \( (i, j) \) и \( (j, k) \), то должна существовать пара \( (i, k) \) для выполнения транзитивности. В данном случае не выполняется пара \( (1, 2) \) и \( (2, 3) \), так как не существует пара \( (1, 3) \). Следовательно, отношение не транзитивно.

Ответ на первый пункт:

Отношение \( R \) не является рефлексивным, не симметричным, не транзитивным, но является антисимметричным.

Шаг 3: Выполним операции над отношением \( R^3, R \cup R, R \cap R \)

• \( R \cup R \) (объединение): так как объединение самого множества с собой даёт его же, то \( R \cup R = R \).
• \( R \cap R \) (пересечение): так же, как и в случае объединения, пересечение множества с самим собой даёт его: \( R \cap R = R \).
• \( R^3 \) (транзитивное замыкание): это тройное применение отношения к себе. Для этого будем вычислять произведение матриц, учитывая пары в отношении.