Определить свойства отношения R, заданного матрицей0010

Условие:

Определить свойства отношения R, заданного матрицей 0 0 1 0 -Выполнить операции над

Решение:

Данный текст задания относится к предмету *"дискретная математика"*, раздел *"отношения и их свойства"*. **Разбор задания:** 1. **Определить свойства отношения \( R \), заданного матрицей**: Данная матрица: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \] Определяет бинарное отношение на множестве \( M = \{1, 2, 3\} \). ### Постановка вопроса: Требуется: 1. Определить свойства данного отношения, используя матрицу. 2. Выполнить операции над отношением. ### Шаг 1: Восстановим отношение, заданное матрицей - В элементе матрицы \( a_{ij} \) цифра "1" означает, что между элементами \( i \) и \( j \) отношение выполняется, а "0" — что не выполняется. - Ряды матрицы соответствуют элементам множества \( M = \{1, 2, 3\} \). Столбцы также относятся к элементам множества. Отношение \( R \) можно записать в виде множества пар: \[ R = \{ (1, 2), (2, 2), (3, 1) \} \] ### Шаг 2: Определим свойства отношения Анализируем стандартные свойства отношения: - **Рефлексивность**: Для того чтобы отношение было рефлексивным, каждая пара вида \( (i, i) \) должна принадлежать \( R \). Это означает, что на главной диагонали матрицы все элементы должны быть единицами. - Условие нарушено, так как только элемент \( (2, 2) \) равен 1, остальные элементы на диагонали (1, 1) и (3, 3) равны 0. Следовательно, отношение **не рефлексивно**. - **Симметричность**: Если для пары \( (i, j) \) существует обратная пара \( (j, i) \), то отношение симметрично. - Например, у нас есть пара \( (1, 2) \), но нет обратной пары \( (2, 1) \). То же самое применимо к паре \( (3, 1) \) — отсутствует пара \( (1, 3) \). Это показывает, что отношение **не симметрично**. - **Антисимметричность**: Если существует пара \( (i, j) \) и обратная \( (j, i) \), то \( i \) должно быть равно \( j \) для соблюдения антисимметричности. - У нас есть пары \( (1, 2) \) и \( (3, 1) \), но для них отсутствуют обратные. Поэтому, условие антисимметричности не нарушено, значит отношение **антисимметрично**. - **Транзитивность**: Если существует пары \( (i, j) \) и \( (j, k) \), то должна существовать пара \( (i, k) \) для выполнения транзитивности. - В данном случае не выполняется пара \( (1, 2) \) и \( (2, 3) \), так как не существует пара \( (1, 3) \). Следовательно, отношение **не транзитивно**. ### Ответ на первый пункт: Отношение \( R \) не является рефлексивным, не симметричным, не транзитивным, но является антисимметричным. ### Шаг 3: Выполним операции над отношением \( R^3, R \cup R, R \cap R \) - \( R \cup R \) (объединение): так как объединение самого множества с собой даёт его же, то \( R \cup R = R \). - \( R \cap R \) (пересечение): так же, как и в случае объединения, пересечение множества с самим собой даёт его: \( R \cap R = R \). - \( R^3 \) (транзитивное замыкание): это тройное применение отношения к себе. Для этого будем вычислять произведение матриц, учитывая пары в отношении.