Определить свойства отношения R, заданного матрицей0010

Данный текст задания относится к предмету "дискретная математика", раздел "отношения и их свойства".

Разбор задания:

1. Определить свойства отношения $\text{(}R\text{)}$, заданного матрицей:

Данная матрица: $\text{[}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{]}$

Определяет бинарное отношение на множестве $\text{(}M=\{1,2,3\}\text{)}$.

Постановка вопроса:

Требуется:

1. Определить свойства данного отношения, используя матрицу.
2. Выполнить операции над отношением.

Шаг 1: Восстановим отношение, заданное матрицей

• В элементе матрицы $\text{(}{a}_{ij}\text{)}$ цифра "1" означает, что между элементами $\text{(}i\text{)}$ и $\text{(}j\text{)}$ отношение выполняется, а "0" — что не выполняется.
• Ряды матрицы соответствуют элементам множества $\text{(}M=\{1,2,3\}\text{)}$. Столбцы также относятся к элементам множества. Отношение $\text{(}R\text{)}$ можно записать в виде множества пар: $\text{[}R=\{(1,2),(2,2),(3,1)\}\text{]}$

Шаг 2: Определим свойства отношения

Анализируем стандартные свойства отношения:

• Рефлексивность: Для того чтобы отношение было рефлексивным, каждая пара вида $\text{(}(i,i)\text{)}$ должна принадлежать $\text{(}R\text{)}$. Это означает, что на главной диагонали матрицы все элементы должны быть единицами. Условие нарушено, так как только элемент $\text{(}(2,2)\text{)}$ равен 1, остальные элементы на диагонали (1, 1) и (3, 3) равны 0. Следовательно, отношение не рефлексивно.
• Симметричность: Если для пары $\text{(}(i,j)\text{)}$ существует обратная пара $\text{(}(j,i)\text{)}$, то отношение симметрично. Например, у нас есть пара $\text{(}(1,2)\text{)}$, но нет обратной пары $\text{(}(2,1)\text{)}$. То же самое применимо к паре $\text{(}(3,1)\text{)}$ — отсутствует пара $\text{(}(1,3)\text{)}$. Это показывает, что отношение не симметрично.
• Антисимметричность: Если существует пара $\text{(}(i,j)\text{)}$ и обратная $\text{(}(j,i)\text{)}$, то $\text{(}i\text{)}$ должно быть равно $\text{(}j\text{)}$ для соблюдения антисимметричности. У нас есть пары $\text{(}(1,2)\text{)}$ и $\text{(}(3,1)\text{)}$, но для них отсутствуют обратные. Поэтому, условие антисимметричности не нарушено, значит отношение антисимметрично.
• Транзитивность: Если существует пары $\text{(}(i,j)\text{)}$ и $\text{(}(j,k)\text{)}$, то должна существовать пара $\text{(}(i,k)\text{)}$ для выполнения транзитивности. В данном случае не выполняется пара $\text{(}(1,2)\text{)}$ и $\text{(}(2,3)\text{)}$, так как не существует пара $\text{(}(1,3)\text{)}$. Следовательно, отношение не транзитивно.

Ответ на первый пункт:

Отношение $\text{(}R\text{)}$ не является рефлексивным, не симметричным, не транзитивным, но является антисимметричным.

Шаг 3: Выполним операции над отношением $\text{(}{R}^3,R\cup R,R\cap R\text{)}$

• $\text{(}R\cup R\text{)}$ (объединение): так как объединение самого множества с собой даёт его же, то $\text{(}R\cup R=R\text{)}$.
• $\text{(}R\cap R\text{)}$ (пересечение): так же, как и в случае объединения, пересечение множества с самим собой даёт его: $\text{(}R\cap R=R\text{)}$.
• $\text{(}{R}^3\text{)}$ (транзитивное замыкание): это тройное применение отношения к себе. Для этого будем вычислять произведение матриц, учитывая пары в отношении.