Определить свойства отношения R, заданного матрицей

Условие:

Определить свойства отношения R, заданного матрицей R: RE,R,RUR,RAR, R•R. 1 0 0 0 . Выполнить операции над

Решение:

**Предмет**: Дискретная математика **Раздел**: Отношения, матрицы отношений, операции над отношениями ### Даны: Отношение \( R \), заданное матрицей: \[ R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 1. Проверим свойства отношения, основываясь на матрице 1. **Рефлексивность** (наличие единиц на главной диагонали): Главная диагональ матрицы: \( 1, 1, 1 \) (все единицы), значит, отношение **рефлексивно**. 2. **Симметричность** (матрица должна быть симметричной относительно главной диагонали): Проверим сравнение элементов \( a_{ij} \) и \( a_{ji} \): - \( R_{12} = 0 \) и \( R_{21} = 0 \) (совпадают), - \( R_{13} = 1 \) и \( R_{31} = 1 \) (совпадают), - \( R_{23} = 1 \) и \( R_{32} = 0 \) (не совпадают). Следовательно, отношение **не симметрично**. 3. **Антисимметричность** (если \( a_{ij} = 1 \) и \( a_{ji} = 1 \), то \( i = j \)): В отношении \( R \), есть несоответствие в \( R_{23} \) и \( R_{32} \), что нарушает антисимметричность. Следовательно, отношение **не антисимметрично**. 4. **Транзитивность** (если \( R(i,j) = 1 \) и \( R(j,k) = 1 \), то \( R(i,k) = 1 \)): Проверим условия транзитивности для троек индексов: - \( R(1,3) = 1 \) и \( R(3,2) = 0 \), транзитивность нарушена. Следовательно, отношение **не транзитивно**. ### Шаг 2. Выполним операции над отношением \( R \) #### 1. \( R^{-1} \) — обратное отношение Это отношение, у которого строки и столбцы исходной матрицы поменяны местами (транспонирование). \[ R^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] #### 2. \( \overline{R} \) — дополнение отношения Это отношение, у которого единицы заменяются на нули, а нули — на единицы. \[ \overline{R} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] #### 3. \( R \cup R \) — объединение отношений Поскольку \( R \cup R \) — это просто \( R \), результат остается прежним: \[ R \cup R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] #### 4. \( R \cap R \) — пересечение отношений Аналогично, пересечение отношения с самим собой — это просто \( R \). \[ R \cap R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] #### 5. \( R \cdot R \) — композиция отношений Правила композиции отношений: если есть путь от элемента \( i \) до элемента \( j \) через промежуточные вершины, то \( R \cdot R(i, j) = 1 \). Выполним произведение матрицы \( R \) на саму себя: \[ R \cdot R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Заменим все элементы, которые больше 0, на 1, так как в матрицах отношений используются значения 0 и 1: \[ R \cdot R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ### Ответ: 1. Отношение \( R \) обладает следующими свойствами: - **Рефлексивно**. - **Не симметрично**. - **Не антисимметрично**. - **Не транзитивно**. 2. Выполненные операции: - \( R^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) - \( \overline{R} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) - \( R \cup R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) - \( R \cap R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) - \( R \cdot R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)