Определить: область определения, область значений, свойства отношения

Условие:

1. На множестве М = {1,2,3,4,5; задать отношение «а - b черное» характеристическим условием, списком, матрицей, графически. Определить: область определения, область значений, свойства отношения.

Решение:

Это задание относится к предмету **дискретная математика**, разделу **бинарные отношения**. ### Шаг 1. Задание отношения на множестве \( M = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). #### 1.1. **Характеристическое условие**: Задать отношение \( R \) можно с помощью характеристики. Отношение задается фразой "a - b черное", что означает, что отношение выполняется, если соблюдается какое-то условие между элементами \( a \) и \( b \) множества \( M \). Допустим, \( R \) соответствует условию равенства \( a = b \), то есть отношение задано: \[ R = \{(a, b) \in M \times M \ | \ a = b\} \] #### 1.2. **Список пар**: Для множества \( M = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) отношение \( R \) в виде списка пар будет следующим (так как \( a = b \)): \[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)\} \] #### 1.3. **Матрица отношений**: Матрица отношений представляет собой матрицу размером \( 5 \times 5 \), где для каждой пары \( (a, b) \) записывается 1, если \( a = b \), и 0 в остальных случаях. Для нашего отношения матрица выглядит так: \[ R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Эта матрица является **единичной матрицей**, потому что отношение \( R \) определено на диагонали (то есть \( a = b \)). #### 1.4. **Графическое представление**: Графически это отношение изображается как **петли** на элементе. Так как мы имеем отношение только между элементом и самим собой (петли на вершинах графа), рисуется многоугольник с петлями на каждой вершине: - Вершины \( 1, 2, 3, 4, 5 \) — это элементы множества. - Петли \( 1 \to 1 \), \( 2 \to 2 \), \( 3 \to 3 \), \( 4 \to 4 \), \( 5 \to 5 \) показывают выполнение условия. ### Шаг 2. Область определения и область значений - **Область определения** \( Dom(R) \): множество всех первых элементов пар \( (a, b) \), то есть \( Dom(R) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). - **Область значений** \( Im(R) \): множество всех вторых элементов пар \( (a, b) \), то есть \( Im(R) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). ### Шаг 3. Свойства отношения 1. **Рефлексивность**: Отношение рефлексивно, если для любого \( a \in M \) выполняется \( (a, a) \in R \). В данном случае рефлексивность выполняется, так как все пары \( (a, a) \in R \). 2. **Антисимметричность**: Отношение антисимметрично, если из \( (a, b) \in R \) и \( (b, a) \in R \) следует \( a = b \). В нашем случае антисимметричность выполняется, так как это отношение только между одинаковыми элементами. 3. **Транзитивность**: Отношение транзитивно, если из \( (a, b) \in R \) и \( (b, c) \in R \) следует \( (a, c) \in R \). Для идентичных элементов всегда выполняется транзитивность, поэтому отношение транзитивно. 4. **Симметричность**: Отношение симметрично, если из \( (a, b) \in R \) следует, что \( (b, a) \in R \). Здесь отношение симметрично только на диагонали, так как \( a = b \), тогда \( (a, b) = (b, a) \). ### Ответ: 1. Характеристическое условие: \( R = \{(a, b) \in M \times M \ | \ a = b\} \). 2. Список пар: \( R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)\} \). 3. Матрица отношений: \[ R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] 4. Графически: петли на вершинах \( 1, 2, 3, 4, 5 \). 5. Область определения: \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \). 6. Область значений: \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \). 7. Свойства отношения: - Рефлексивность: да. - Антисимметричность: да. - Транзитивность: да. - Симметричность: да.