Определить: область определения, область значений, свойства отношения

Это задание относится к предмету дискретная математика, разделу бинарные отношения.

Шаг 1. Задание отношения на множестве \( M = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

1.1. Характеристическое условие: Задать отношение \( R \) можно с помощью характеристики. Отношение задается фразой "a - b черное", что означает, что отношение выполняется, если соблюдается какое-то условие между элементами \( a \) и \( b \) множества \( M \). Допустим, \( R \) соответствует условию равенства \( a = b \), то есть отношение задано:

\[ R = \{(a, b) \in M \times M \ | \ a = b\} \]

1.2. Список пар: Для множества \( M = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) отношение \( R \) в виде списка пар будет следующим (так как \( a = b \)):

\[ R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)\} \]

1.3. Матрица отношений: Матрица отношений представляет собой матрицу размером \( 5 \times 5 \), где для каждой пары \( (a, b) \) записывается 1, если \( a = b \), и 0 в остальных случаях. Для нашего отношения матрица выглядит так:

\[ R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

Эта матрица является единичной матрицей, потому что отношение \( R \) определено на диагонали (то есть \( a = b \)).

Шаг 2. Область определения и область значений

• Область определения \( Dom(R) \): множество всех первых элементов пар \( (a, b) \), то есть \( Dom(R) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
• Область значений \( Im(R) \): множество всех вторых элементов пар \( (a, b) \), то есть \( Im(R) = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

Шаг 3. Свойства отношения

• Рефлексивность: Отношение рефлексивно, если для любого \( a \in M \) выполняется \( (a, a) \in R \). В данном случае рефлексивность выполняется, так как все пары \( (a, a) \in R \).
• Антисимметричность: Отношение антисимметрично, если из \( (a, b) \in R \) и \( (b, a) \in R \) следует \( a = b \). В нашем случае антисимметричность выполнается, так как это отношение только между одинаковыми элементами.