Определить матрицы отношений. Каковы свойства исходных и полученных отношений? Являются ли отношения R1, R2, отношениями эквивалентности?

Определение задачи

Задание связано с дискретной математикой, а именно с разделом о отношениях и матрицах отношений. Нам необходимо:

1. Найти матрицы инверсий отношений, объединений, пересечений и определить являются ли отношения эквивалентностями.
2. Определить свойства исходных и полученных отношений.

Исходные матрицы заданы как: \[ R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

1. Инверсия \( \overline{R_1} \) и \( \overline{R_2} \)

Инверсия отношения — это дополнение отношения. Элементы матрицы \( \overline{R_1} \) и \( \overline{R_2} \) принимают значение \( 1 \), если соответствующий элемент исходной матрицы имеет значение \( 0 \), и наоборот.

Дополнение \( R_1 \):

\[ \overline{R_1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Дополнение \( R_2 \):

\[ \overline{R_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

2. Обратные отношения \( R_1^{-1} \) и \( R_2^{-1} \)

Обратное отношение \( R^{-1} \) получается транспонированием матрицы исходного отношения.

Обратная матрица для \( R_1 \):

\[ R_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Обратная матрица для \( R_2 \):

\[ R_2^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

3. Объединение \( R_1 \cup R_2 \)

Для нахождения объединения отношений операций сложения по модулю 2 (или операция дизъюнкции) применяется ко всем ячейкам исходных матриц отдельно.

\[ R_1 \cup R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

4. Пересечение \( R_1 \cap R_2 \)

Пересечение отношений делается как операция конъюнкции для каждой ячейки исходных матриц.

\[ R_1 \cap R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

5. Свойства отношений R1 и R2

Отношение считается эквивалентностью, если оно обладает следующими свойствами:

• Рефлексивность: \(\forall a \in M, (a, a)\in R\) (диагональные элементы матрицы должны быть равны 1).
• Симметричность: если \((a, b) \in R\), то и \((b, a)\in R\).
• Транзитивность: если \((a, b) \in R\) и \((b, c)\in R\), то \((a, c)\in R\).

Свойства \( R_1 \):

• Рефлексивность: Матрица \( R_1 \) не рефлексивна, потому что не все диагональные элементы равны 1.
• Симметричность: Матрица \( R_1 \) не симметрична, так как не выполняется \( R_{1,ij} = R_{1,ji} \).
• Транзитивность: Проверка транзитивности сложно провести визуально без дополнительных операций. Однако уже отсутствие первых двух свойств говорит о том, что транзитивность теряется.

Вывод: \( R_1 \) не является отношением эквивалентности.

Свойства \( R_2 \):

• Рефлексивность: \( R_2 \) не рефлексивна, так как на диагонали есть элементы, не равные 1.
• Симметричность: \( R_2 \) не симметрична, поскольку, например, \( R_{2,12} = 1 \), а \( R_{2,21} = 1 \), но другие элементы не соответствуют симметрии.
• Транзитивность: Без полной проверки видно, что отношение, не удовлетворяющее предыдущим свойствам, тем более не будет транзитивным.

Вывод: \( R_2 \) не является отношением эквивалентности.

Итого:

• Отношения \( R_1 \) и \( R_2 \) не являются отношениями эквивалентности.
• Мы также нашли матрицы инверсий, обратные отношения, объединения и пересечения.