Определить матрицы отношений. Каковы свойства исходных и полученных отношений? Являются ли отношения R1, R2, отношениями эквивалентности?

Условие:

Определить матрицы отношений. Каковы свойства исходных и полученных отношений? Являются ли отношения R1, R2, отношениями эквивалентности?

Решение:

### Определение задачи Задание связано с **дискретной математикой**, а именно с разделом о **отношениях и матрицах отношений**. Нам необходимо: 1. Найти матрицы инверсий отношений, объединений, пересечений и определить являются ли отношения эквивалентностями. 2. Определить свойства исходных и полученных отношений. Исходные матрицы заданы как: \[ R_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### 1. Инверсия \( \overline{R_1} \) и \( \overline{R_2} \) Инверсия отношения — это дополнение отношения. Элементы матрицы \( \overline{R_1} \) и \( \overline{R_2} \) принимают значение \( 1 \), если соответствующий элемент исходной матрицы имеет значение \( 0 \), и наоборот. #### Дополнение \( R_1 \): \[ \overline{R_1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] #### Дополнение \( R_2 \): \[ \overline{R_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] ### 2. Обратные отношения \( R_1^{-1} \) и \( R_2^{-1} \) Обратное отношение \( R^{-1} \) получается транспонированием матрицы исходного отношения. #### Обратная матрица для \( R_1 \): \[ R_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] #### Обратная матрица для \( R_2 \): \[ R_2^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] ### 3. Объединение \( R_1 \cup R_2 \) Для нахождения объединения отношений операций сложения по модулю 2 (или операция дизъюнкции) применяется ко всем ячейкам исходных матриц отдельно. \[ R_1 \cup R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### 4. Пересечение \( R_1 \cap R_2 \) Пересечение отношений делается как операция конъюнкции для каждой ячейки исходных матриц. \[ R_1 \cap R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### 5. Свойства отношений R1 и R2 Отношение считается **эквивалентностью**, если оно обладает следующими свойствами: - **Рефлексивность**: \(\forall a \in M, (a, a)\in R\) (диагональные элементы матрицы должны быть равны 1). - **Симметричность**: если \((a, b) \in R\), то и \((b, a)\in R\). - **Транзитивность**: если \((a, b) \in R\) и \((b, c)\in R\), то \((a, c)\in R\). #### Свойства \( R_1 \): - **Рефлексивность**: Матрица \( R_1 \) не рефлексивна, потому что не все диагональные элементы равны 1. - **Симметричность**: Матрица \( R_1 \) не симметрична, так как не выполняется \( R_{1,ij} = R_{1,ji} \). - **Транзитивность**: Проверка транзитивности сложно провести визуально без дополнительных операций. Однако уже отсутствие первых двух свойств говорит о том, что транзитивность теряется. **Вывод**: \( R_1 \) **не является отношением эквивалентности**. #### Свойства \( R_2 \): - **Рефлексивность**: \( R_2 \) не рефлексивна, так как на диагонали есть элементы, не равные 1. - **Симметричность**: \( R_2 \) не симметрична, поскольку, например, \( R_{2,12} = 1 \), а \( R_{2,21} = 1 \), но другие элементы не соответствуют симметрии. - **Транзитивность**: Без полной проверки видно, что отношение, не удовлетворяющее предыдущим свойствам, тем более не будет транзитивным. **Вывод**: \( R_2 \) **не является отношением эквивалентности**. ### Итого: - Отношения \( R_1 \) и \( R_2 \) **не являются отношениями эквивалентности**. - Мы также нашли матрицы инверсий, обратные отношения, объединения и пересечения.