Определить матрицы отношений R,, R, ', R,R,, R, UR,, R, M R,. Определить каковы свойства исходных и полученных отношений

Этот вопрос соответствует теме раздела дискретной математики, а конкретно разделу теории отношений.

Для нахождения необходимых матриц отношений и определения их свойств, выполним следующие шаги:

1. Обратное отношение (\(R_1^T\) и \(R_2^T\)): Матрица \(\bar{R_1}\) - это транспонированная матрица \(R_1\). Матрица \(\bar{R_2}\) - это транспонированная матрица \(R_2\).

   \[
   R_1^T = \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

   \[
   R_2^T = \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

2. Произведение отношений (\( R_1 \cdot R_2\)): Выполним умножение \( R_1 \) и \( R_2 \).

   \[
   R_1 \cdot R_2 = \begin{pmatrix}
   0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
   1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

3. Объединение (\(R_1 \cup R_2\)): Объединение отношений \( R_1 \) и \( R_2 \) осуществляется путем взятия логического ИЛИ (OR) поэлементно.

   \[
   R_1 \cup R_2 = \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
   1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
   1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
   1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

4. Пересечение (\(R_1 \cap R_2\)): Пересечение отношений \( R_1 \) и \( R_2 \) осуществляется путем взятия логического И (AND) поэлементно.

   \[
   R_1 \cap R_2 = \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   \end{pmatrix}
   \]

5. Свойства исходных и полученных отношений:

Проверим свойства отношений \( R_1 \) и \( R_2 \):

• Рефлексивность: отношение рефлексивно, если для всех \(a\) в множестве \( R \), \((a, a)\) ∈ \( R \). Ни одна из матриц не содержит фулл-диагональ (для рефлексивно) — значит, они не рефлексивны.
• Симметричность: отношение симметрично, если для всех \(a, b\), если \( (a, b) ∈ R \), то и \( (b, a) ∈ R \). В данном случае, ни одна из матриц не является полностью симметричной относительно диагонали.
• Транзитивность: отношение транзитивно, если из \( (a, b) ∈ R \) и \( (b, c) ∈ R \) следует \( (a, c) ∈ R \). Проверка транзитивности требует дополнительных вычислений. Исходя из матриц, это видимо сложно определить.
6. Являются ли \( R_1 \) и \( R_2 \) отношениями эквивалентности:

Для эквивалентности отношения должны быть рефлексивными, симметричными и транзитивными. По вышеупомянутому свойству, ни \( R_1 \) ни \( R_2 \) не являются отношениями эквивалентности по причине недостатка рефлексивности и симметричности.

Таким образом, отношения \( R_1 \) и \( R_2 \) не являются отношениями эквивалентности, так как они не имеют необходимые свойства рефлексивности и симметричности.