Найти сокращенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) для функции, двойственной к данной функции

Предмет: Дискретная математика (раздел Булева алгебра, логические функции)

Мы должны найти сокращенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) для функции, двойственной к данной функции. Задачу нужно решить двумя способами: с помощью таблицы истинности и эквивалентными преобразованиями.

Дано:

Исходная функция: \[ f(x, y, z) = (x \land \bar{y} \land \bar{z}) \lor (\bar{x} \land y \land z) \]

Шаги:

1. Нахождение двойственной функции:

Сначала находим двойственную функцию для исходной. Для получения двойственной функции нужно заменить:

• Операцию дизъюнкции (OR, ∨) на конъюнкцию (AND, ∧),
• Операцию конъюнкции (AND, ∧) на дизъюнкцию (OR, ∨),
• Переменные оставляем без изменений.

Двойственная функция будет иметь следующий вид: \[ g(x, y, z) = (x \lor \bar{y} \lor \bar{z}) \land (\bar{x} \lor y \lor z) \]

2. Построение таблицы истинности:

Построим таблицу истинности для двойственной функции, чтобы найти минимальную СДНФ.

Как видим, функция принимает значение 1 для всех наборов значений переменных \( (x, y, z) \).

3. Нахождение СДНФ:

Исходя из таблицы, функция принимает значение 1 для всех возможных наборов \( (x, y, z) \). Это означает, что СДНФ двойственной функции будет константной:

\[ g(x, y, z) = 1 \]

Альтернативное решение с помощью эквивалентных преобразований:

1. Исходное выражение для двойственной функции: \[ g(x, y, z) = (x \lor \bar{y} \lor \bar{z}) \land (\bar{x} \lor y \lor z) \]
2. Посмотрим, как можно упростить это выражение. Из свойств булевой алгебры (законы поглощения, дистрибутивности и т.д.), видно, что результатом логического произведения двух истинных выражений является также истина в любом случае. То есть результат всегда будет 1.

Таким образом, СДНФ — это: \[ g(x, y, z) = 1 \]

Ответ:

СДНФ двойственной функции — это \( 1 \).