Найти скнф и сднф

Это задание по математической логике. Здесь нужно найти СКНФ (Совершенную Конъюнктивную Нормальную Форму) и СДНФ (Совершенную Дизъюнктивную Нормальную Форму) выражения.

Обозначения:

• $x\Rightarrow \mathrm{\neg }y$ (x имплицирует не y)
• $\leftrightarrow$ (эквивалентность)
• $z\vee \mathrm{\neg }x$ (z или не x)

Запишем логическое выражение:

$x\Rightarrow \mathrm{\neg }y\iff z\vee \mathrm{\neg }x$

Пока будем работать с двумя частями отдельно и создадим таблицу истинности для каждой части.

Таблица истинности для $x\Rightarrow \mathrm{\neg }y$:

Таблица истинности для $z\vee \mathrm{\neg }x$:

Объединенная таблица истинности для всего выражения:

СДНФ (Соверешенная Дизъюнктивная Нормальная Форма):

Смотрим на строки, где итоговое выражение истинно (1):

• 0 0 0: $\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y\wedge \mathrm{\neg }z$
• 0 0 1: $\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y\wedge z$
• 0 1 0: $\mathrm{\neg }x\wedge y\wedge \mathrm{\neg }z$
• 0 1 1: $\mathrm{\neg }x\wedge y\wedge z$
• 1 1 0: $x\wedge y\wedge \mathrm{\neg }z$

Соединим дизъюнкциям:

$\text{СДНФ}=(\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y\wedge \mathrm{\neg }z)\vee (\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y\wedge z)\vee (\mathrm{\neg }x\wedge y\wedge \mathrm{\neg }z)\vee (\mathrm{\neg }x\wedge y\wedge z)\vee (x\wedge y\wedge \mathrm{\neg }z)$

СКНФ (Соверешенная Конъюнктивная Нормальная Форма):

Смотрим на строки, где выражение ложное (0):

• 1 0 0: $x\vee \mathrm{\neg }y\vee z$
• 1 0 1: $x\vee \mathrm{\neg }y\vee \mathrm{\neg }z$
• 1 1 1: $x\vee y\vee z$
• 0 0 1: $x\vee y\vee \mathrm{\neg }z$

Соединим конъюнкциям:

$\text{СКНФ}=(x\vee \mathrm{\neg }y\vee z)\wedge (x\vee \mathrm{\neg }y\vee \mathrm{\neg }z)\wedge (x\vee y\vee z)\wedge (x\vee y\vee \mathrm{\neg }z)$