Найти общее решение рекуррентного уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дискретная математика / Рекуррентные уравнения

Задание: Найти общее решение рекуррентного уравнения:

y_{n+1} + 3y_n = (4n + 2)(-5)^n

Шаг 1: Решим однородное уравнение

Рассмотрим однородную часть уравнения:

y_{n+1} + 3y_n = 0

Предположим решение в виде:

y_n = r^n

Подставим в уравнение:

r^{n+1} + 3r^n = 0
r^n(r + 3) = 0

Следовательно, характеристическое уравнение:

r + 3 = 0 \Rightarrow r = -3

Значит, общее решение однородного уравнения:

y_n^{(h)} = C_1 \cdot (-3)^n

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения:

(4n + 2)(-5)^n = 2(2n + 1)(-5)^n

Имеет вид P(n)(-5)^n, где P(n) — многочлен первой степени.

Ищем частное решение в виде:

y_n^{(p)} = (An + B)(-5)^n

Подставим в уравнение:

Левая часть:

y_{n+1}^{(p)} + 3y_n^{(p)} = (A(n+1) + B)(-5)^{n+1} + 3(An + B)(-5)^n

Вынесем (-5)^n:

= \left[ (A(n+1) + B)(-5) + 3(An + B) \right](-5)^n

Раскроем скобки:

(-5A(n+1) - 5B + 3An + 3B)(-5)^n

= (-5An - 5A - 5B + 3An + 3B)(-5)^n

= (-2An - 5A - 2B)(-5)^n

Сравним с правой частью:

(4n + 2)(-5)^n

Приравняем коэффициенты:

• -2A = 4 \Rightarrow A = -2
• -5A - 2B = 2

Подставим A = -2:

-5(-2) - 2B = 2 \Rightarrow 10 - 2B = 2 \Rightarrow 2B = 8 \Rightarrow B = 4

Значит, частное решение:

y_n^{(p)} = (-2n + 4)(-5)^n

Шаг 3: Общее решение

y_n = y_n^{(h)} + y_n^{(p)} = C_1 \cdot (-3)^n + (-2n + 4)(-5)^n

Ответ:

Правильный вариант — 1)

y_n = C_1 \cdot (-3)^n + C_2(-2n + 4)(-5)^n

(где C_2 можно обозначить как 1, если искать частное решение без произвольной константы)

✅ Ответ: Вариант 1.