Найти минимальную ДНФ методом Вейча

Предмет: Математика

Раздел: Булева алгебра, минимизация логических функций

Решение:

1. Исходная задача: Функция \( f(x,y,z) = 00111010 \)
2. Перепишем функцию в табличную форму: Каждая цифра в двоичном коде функции \( f(x,y,z) \) соответствует определенной комбинации значений \( x, y \) и \( z \).

   x	y	z	f(x,y,z)
   0	0	0	0
   0	0	1	1
   0	1	0	0
   0	1	1	1
   1	0	0	1
   1	0	1	1
   1	1	0	0
   1	1	1	0

3. Построим карту Карно (метод Вейча): Разметим карту Карно для трех переменных \( x, y, z \): \[ \begin{array}{cc|c|c|} & & z=0 & z=1 \\ \hline \multirow{2}{*}{y=0} & x=0 & 0 & 1 \\ & x=1 & 1 & 1 \\ \hline \multirow{2}{*}{y=1} & x=0 & 0 & 1 \\ & x=1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \]
4. Группировка единиц: Сначала найдем все возможные группировки единиц (единицы в таблице соответствуют значению функции, равному 1).
5. Обобщение группировки: Группа из четырех единиц можно объединить (правилами минимизации).
6. Создание выражений из группировок:
   • Группа [x=1, y=0] (z может быть 0 или 1): \( x \cdot \overline{y} \)
   • Группа [x=0, y=0, z=1] (единичная): \( \overline{x} \cdot \overline{y} \cdot z \)
7. Суммирование выражений: Соединяем все выражения по правилу дизъюнкции: \( f(x, y, z) = (\overline{x} \cdot \overline{y} \cdot z) + (x \cdot \overline{y}) \)

Итоговая минимальная ДНФ:

\[ f(x, y, z) = x\overline{y} + \overline{x}\overline{y}z \]

Объяснение:

Используя карту Карно, мы смогли найти группы, содержащие 1. Обобщили выражение, применив минимизацию, которая привела нас к минимальной дизъюнктивной нормальной форме.

Проверка:

Карту Карно следует проверить для всех позиций, чтобы убедиться, что все 1 покрыты группами. Вы убедитесь, что ни одна группа не может быть объединена далее. Выражение соответствует всем единицам и только им.