Найти минимальную ДНФ методом Квайна

Это задание относится к курсу дискретной математики, раздел "Булева алгебра и логические функции".

Конкретное задание требует найти минимальную дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) функции методом Квайна. Метод Квайна-Мак-Класки состоит из двух основных этапов:

1. Группировка минтермов.
2. Устранение повторений и объединение групп для формирования минимальной ДНФ.

Для функции \( f(x,y,z) = 00110011 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Представление функции в виде минтермов

Функция \( f(x,y,z) = 00110011 \) в двоичном виде соответствует следующим значениям:

• \( f(0,0,0) = 0 \)
• \( f(0,0,1) = 0 \)
• \( f(0,1,0) = 1 \)
• \( f(0,1,1) = 1 \)
• \( f(1,0,0) = 0 \)
• \( f(1,0,1) = 0 \)
• \( f(1,1,0) = 1 \)
• \( f(1,1,1) = 1 \)

Значения, равные единице, соответствуют минтермам. То есть:

• \( f(0,1,0) = 1 \) — Минтерм: \( x'y'z \)
• \( f(0,1,1) = 1 \) — Минтерм: \( x'y'z' \)
• \( f(1,1,0) = 1 \) — Минтерм: \( xy'z \)
• \( f(1,1,1) = 1 \) — Минтерм: \( xyz \)

Шаг 2: Формирование и упрощение минтермов

Составим все минтермы:

1. \( x'y'z \) — \( 010 \)
2. \( x'y'z' \) — \( 011 \)
3. \( xy'z \) — \( 110 \)
4. \( xyz \) — \( 111 \)

Теперь упрощаем, объединяя те минтермы, которые отличаются только одним битом:

• \( x'y'z \) и \( x'y'z' \) можно объединить в \( x'y' \)
• \( xy'z \) и \( xyz \) можно объединить в \( xz \)

Так как объединения минтермов между группами легче отображать в таблицу Квайна-Мак-Класки, построим её.

Шаг 3: Таблица Квайна-Мак-Класки

Начальная таблица содержит наши минтермы:

Теперь ищем пары минтермов, отличающихся на один бит:

1. \( x'y'z (010) \) и \( x'y'z' (011) \) объединяются в \( x'y' \)
2. \( xy'z (110) \) и \( xyz (111) \) объединяются в \( xz \)

Итак, минимальные примитивы:

• \( x'y' \)
• \( xz \)

Шаг 4: Минимальная ДНФ

Теперь мы можем составить минимальную ДНФ:

\[ f(x, y, z) = x'y' + xz \]

Эта ДНФ является минимальной для функции \( f(x, y, z) = 00110011 \).