Найти минимальную ДНФ методом Квайна

Условие:

Для функции f(x,y,z)=00110011 найти минимальную ДНФ методом Квайна.

Решение:

Это задание относится к курсу дискретной математики, раздел "Булева алгебра и логические функции". Конкретное задание требует найти минимальную дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) функции методом Квайна. Метод Квайна-Мак-Класки состоит из двух основных этапов: 1. Группировка минтермов. 2. Устранение повторений и объединение групп для формирования минимальной ДНФ. Для функции \( f(x,y,z) = 00110011 \), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Представление функции в виде минтермов Функция \( f(x,y,z) = 00110011 \) в двоичном виде соответствует следующим значениям: - \( f(0,0,0) = 0 \) - \( f(0,0,1) = 0 \) - \( f(0,1,0) = 1 \) - \( f(0,1,1) = 1 \) - \( f(1,0,0) = 0 \) - \( f(1,0,1) = 0 \) - \( f(1,1,0) = 1 \) - \( f(1,1,1) = 1 \) Значения, равные единице, соответствуют минтермам. То есть: - \( f(0,1,0) = 1 \) — Минтерм: \( x'y'z \) - \( f(0,1,1) = 1 \) — Минтерм: \( x'y'z' \) - \( f(1,1,0) = 1 \) — Минтерм: \( xy'z \) - \( f(1,1,1) = 1 \) — Минтерм: \( xyz \) ### Шаг 2: Формирование и упрощение минтермов Составим все минтермы: 1. \( x'y'z \) — \( 010 \) 2. \( x'y'z' \) — \( 011 \) 3. \( xy'z \) — \( 110 \) 4. \( xyz \) — \( 111 \) Теперь упрощаем, объединяя те минтермы, которые отличаются только одним битом: - \( x'y'z \text{ и } x'y'z' \) можно объединить в \( x'y' \) - \( xy'z \text{ и } xyz \) можно объединить в \( xz \) Так как объединения минтермов между группами легче отображать в таблицу Квайна-Мак-Класки, построим её. ### Шаг 3: Таблица Квайна-Мак-Класки Начальная таблица содержит наши минтермы: | Группа | Минтерм | Соответствие | | |--------|-----------|-----------------|- | | 1 | \( x'y'z \) | \( 010 \) | | | 1 | \( x'y'z' \) | \( 011 \) | | | 2 | \( xy'z \) | \( 110 \) | | | 2 | \( xyz \) | \( 111 \) | | Теперь ищем пары минтермов, отличающихся на один бит: 1. \( x'y'z (010) \) и \( x'y'z' (011) \) объединяются в \( x'y' \) 2. \( xy'z (110) \) и \( xyz (111) \) объединяются в \( xz \) Итак, минимальные примитивы: - \( x'y' \) - \( xz \) ### Шаг 4: Минимальная ДНФ Теперь мы можем составить минимальную ДНФ: \[ f(x, y, z) = x'y' + xz \] Эта ДНФ является минимальной для функции \( f(x, y, z) = 00110011 \).