Найти минимальную ДНФ для не полностью определённой булевой функции

Этот вопрос относится к предмету "Дискретная математика", раздел "Булева алгебра".

Давайте последовательно разберем, как найти минимальную дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) для данной не полностью определенной булевой функции.

Таблица истинности функции:

• Икс (X)
• Не икс (¬X)
• Игрек (Y)
• Не игрек (¬Y)
• Зет (Z)
• Не зет (¬Z)

Для начала выпишем все значения функции, где она равна 1 (единицы).

Запишем логические выражения для каждой единицы:

1. Первый случай: \( x=1, y=1, z=1 \rightarrow x \land y \land z \)
2. Второй случай: \( x=0, y=0, z=1 \rightarrow \neg x \land \neg y \land z \)

Теперь объединяем оба выражения логической дизъюнкцией (операцией 'ИЛИ'): \[(x \land y \land z) \lor (\neg x \land \neg y \land z)\]

Проверим возможность упрощения: \[ f(x, y, z) = (x \land y \land z) \lor (\neg x \land \neg y \land z) \]

\[ = z \land (x \land y \lor \neg x \land \neg y) \]

Рассмотрим часть \((x \land y \lor \neg x \land \neg y)\): Эта часть представляет собой булеву функцию совпадения, которая принимает значение 1, если x и y одинаковые. Она может быть представлена как \((x \land y) \lor (\neg x \land \neg y) = x \leftrightarrow y\).

Таким образом, получаем окончательное упрощенное выражение: \[ f(x, y, z) = z \land (x \leftrightarrow y) \]

Эта форма является минимальной ДНФ для данной булевой функции.