Найти число элементов при отображении образа множества (1, 2, 3,4,5)

Предмет: Дискретная математика (ДМ)

Раздел: Отображения, множества, элементы комбинаторики

Анализ задачи:

Дано отображение \( F \), которое отправляет множество натуральных чисел во множество неотрицательных целых чисел таким образом, что:

\[ F(n) = 2^n \mod n \]

То есть отображение \( F(n) \) — это остаток от деления числа \( 2^n \) на \( n \).

Нам нужно найти количество различных элементов в образе множества \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

Шаг 1: Найдем значение \( F(n) \) для каждого \( n \) из множества \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

1. \( n = 1 \): \[ F(1) = 2^1 \mod 1 = 2 \mod 1 = 0 \] Значение \( F(1) = 0 \).
2. \( n = 2 \): \[ F(2) = 2^2 \mod 2 = 4 \mod 2 = 0 \] Значение \( F(2) = 0 \).
3. \( n = 3 \): \[ F(3) = 2^3 \mod 3 = 8 \mod 3 = 2 \] Значение \( F(3) = 2 \).
4. \( n = 4 \): \[ F(4) = 2^4 \mod 4 = 16 \mod 4 = 0 \] Значение \( F(4) = 0 \).
5. \( n = 5 \): \[ F(5) = 2^5 \mod 5 = 32 \mod 5 = 2 \] Значение \( F(5) = 2 \).

Шаг 2: Найдем множество значений \( F(n) \).

Полученные значения:

\[ F(1) = 0, \quad F(2) = 0, \quad F(3) = 2, \quad F(4) = 0, \quad F(5) = 2 \]

Значит, образ множества \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \) — это \( \{0, 2\} \).

Шаг 3: Количество элементов образа.

Элементы образа: \( \{0, 2\} \).

Число элементов образа равно \( 2 \).

Ответ:

Число элементов образа множества \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \) равно \( 2 \).