Изучение дискретных случайных величин

Условие:

Дискретная случайная величина - число появлений события A в двух независимых испытаниях. Вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна, M X  =1. 2.Найти D X .

Решение:

Данный вопрос относится к разделу теории вероятностей и математической статистики, а именно к изучению дискретных случайных величин. ### Шаг 1: Определение дискретной случайной величины \(X\) Пусть \(X\) - это дискретная случайная величина, представляющая число появлений события \(A\) в двух независимых испытаниях. Вероятность наступления события \(A\) в каждом испытании постоянна и обозначается как \(p\). ### Шаг 2: Использование свойства математического ожидания Дано, что \(M(X) = 1\). Математическое ожидание числа успехов в двух независимых испытаниях с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании можно выразить как: \[ M(X) = 2p. \] Согласно условию: \[ 2p = 1. \] Отсюда: \[ p = \frac{1}{2}. \] ### Шаг 3: Вспомогательные формулы Теперь найдем дисперсию \(D(X)\). Для биномиального распределения \(X\) с параметрами \(n\) (число испытаний) и \(p\) (вероятность успеха) дисперсия вычисляется по формуле: \[ D(X) = np(1 - p). \] В нашем случае число испытаний \(n = 2\), вероятность успеха \(p = \frac{1}{2}\). ### Шаг 4: Вычисление дисперсии \(D(X)\) Подставим известные значения в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right). \] Упростим выражение: \[ D(X) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \] Таким образом, дисперсия \(D(X)\) равна \(\frac{1}{2}\). ### Ответ \[ D(X) = \frac{1}{2}. \] Надеюсь, это подробное объяснение помогает понять процесс вычисления дисперсии для данной задачи.