Изучение дискретных случайных величин

Данный вопрос относится к разделу теории вероятностей и математической статистики, а именно к изучению дискретных случайных величин

Шаг 1: Определение дискретной случайной величины \(X\)

Пусть \(X\) - это дискретная случайная величина, представляющая число появлений события \(A\) в двух независимых испытаниях. Вероятность наступления события \(A\) в каждом испытании постоянна и обозначается как \(p\).

Шаг 2: Использование свойства математического ожидания

Дано, что \(M(X) = 1\). Математическое ожидание числа успехов в двух независимых испытаниях с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании можно выразить как:

\[ M(X) = 2p. \]

Согласно условию:

\[ 2p = 1. \]

Отсюда:

\[ p = \frac{1}{2}. \]

Шаг 3: Вспомогательные формулы

Теперь найдем дисперсию \(D(X)\). Для биномиального распределения \(X\) с параметрами \(n\) (число испытаний) и \(p\) (вероятность успеха) дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D(X) = np(1 - p). \]

В нашем случае число испытаний \(n = 2\), вероятность успеха \(p = \frac{1}{2}\).

Шаг 4: Вычисление дисперсии \(D(X)\)

Подставим известные значения в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right). \]

Упростим выражение:

\[ D(X) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, дисперсия \(D(X)\) равна \(\frac{1}{2}\).

Ответ

\[ D(X) = \frac{1}{2}. \]

Надеюсь, это подробное объяснение помогает понять процесс вычисления дисперсии для данной задачи.