Используя определение равенства множеств и операции над множествами, доказать тождество

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств

Задание: Доказать тождество множеств  A \setminus (A \setminus B) = A \cap B  с помощью определения равенства множеств и операций над множествами. Затем исследовать справедливость этого тождества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Шаг 1. Определения и обозначения

• Разность множеств:
   X \setminus Y = \{ x \mid x \in X \text{ и } x \notin Y \} 
• Пересечение множеств:
   X \cap Y = \{ x \mid x \in X \text{ и } x \in Y \} 
• Равенство множеств:
   X = Y \iff (X \subseteq Y) \text{ и } (Y \subseteq X) 

Шаг 2. Доказательство тождества

Докажем, что
 A \setminus (A \setminus B) = A \cap B 
по определению равенства множеств, то есть докажем включения в обе стороны.

(1) Доказательство  A \setminus (A \setminus B) \subseteq A \cap B 

Пусть  x \in A \setminus (A \setminus B) . Тогда по определению разности множеств:
 x \in A  и  x \notin A \setminus B .

Из  x \notin A \setminus B  следует, что  x \notin A  или  x \in B . Но  x \in A  по условию, значит, исключается вариант  x \notin A . Следовательно:
 x \in B .

Итого:
 x \in A  и  x \in B , значит
 x \in A \cap B .

Таким образом,
 A \setminus (A \setminus B) \subseteq A \cap B .

(2) Доказательство  A \cap B \subseteq A \setminus (A \setminus B) 

Пусть  x \in A \cap B . Тогда:
 x \in A  и  x \in B .

Рассмотрим, может ли  x \in A \setminus B .
Для этого нужно, чтобы
 x \in A  и  x \notin B .
Но  x \in B , значит  x \notin A \setminus B .

Следовательно,
 x \in A  и  x \notin A \setminus B , то есть
 x \in A \setminus (A \setminus B) .

Таким образом,
 A \cap B \subseteq A \setminus (A \setminus B) .

Итог:

Так как выполнены оба включения, то:
 A \setminus (A \setminus B) = A \cap B .

Шаг 3. Исследование с помощью диаграмм Эйлера-Венна

• Нарисуем два множества:  A  и  B , пересекающиеся частично.
•  A \setminus B  — это часть множества  A , не лежащая в  B .
•  A \setminus (A \setminus B)  — это множество элементов  A , которые не принадлежат  A \setminus B , то есть элементы  A , которые принадлежат  B . Это именно пересечение  A \cap B .

Диаграммы показывают, что тождество верно для любых множеств  A  и  B .

Вывод: тождество  A \setminus (A \setminus B) = A \cap B  справедливо и доказано как формально, так и визуально с помощью диаграмм Эйлера-Венна.