Гамильтоновыми циклами графа G4

Предмет: Дискретная математика
Раздел: Теория графов, гамильтоновы циклы

Дано граф G_4 = (V, E), где
V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\} — множество вершин,
E = \{(v_1, v_2), (v_1, v_4), (v_2, v_5), (v_3, v_5), (v_2, v_4), (v_4, v_6), (v_2, v_6), (v_3, v_6)\} — множество рёбер.

Задача: найти все гамильтоновы циклы в графе G_4.

Что такое гамильтонов цикл?

Гамильтонов цикл — это цикл в графе, который проходит через каждую вершину ровно один раз и возвращается в исходную вершину.

Анализ графа

Вершины: v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6
Рёбра:

• (v_1, v_2)
• (v_1, v_4)
• (v_2, v_5)
• (v_3, v_5)
• (v_2, v_4)
• (v_4, v_6)
• (v_2, v_6)
• (v_3, v_6)

Поиск гамильтоновых циклов

1. Начнём с вершины v_1 (можно начать с любой).

2. Из v_1 можно пойти в v_2 или v_4.

3. Рассмотрим путь:

• v_1 \to v_2
• Из v_2 можно пойти в v_5, v_4, или v_6.

4. Попробуем путь:
   v_1 \to v_2 \to v_5

• Из v_5 можно пойти в v_3 (единственное ребро (v_3, v_5))
• Далее v_3 имеет ребра к v_5 (уже посещена) и v_6.

5. Продолжаем:
   v_1 \to v_2 \to v_5 \to v_3 \to v_6

• Из v_6 можно пойти в v_4 или v_2 (уже посещена)
• Выбираем v_4.

6. Путь:
   v_1 \to v_2 \to v_5 \to v_3 \to v_6 \to v_4

• Теперь нужно вернуться в v_1 чтобы замкнуть цикл
• Есть ребро (v_4, v_1), так что цикл замыкается.

7. Проверяем, что все вершины посещены ровно один раз:
   v_1, v_2, v_5, v_3, v_6, v_4 — все 6 вершин.

Полученный гамильтонов цикл:

C = (v_1, v_2, v_5, v_3, v_6, v_4, v_1)

Возможны ли другие циклы?

Проверим альтернативные варианты:

• Начало v_1 \to v_4
• Из v_4 можно пойти в v_6 или v_2
• Рассмотрим v_1 \to v_4 \to v_6 \to v_3 \to v_5 \to v_2 \to v_1
• Все вершины посещены, ребра по списку есть.

Это другой гамильтонов цикл:

C' = (v_1, v_4, v_6, v_3, v_5, v_2, v_1)

Ответ:

Гамильтоновыми циклами графа G_4 являются маршруты:

\begin{cases} (v_1, v_2, v_5, v_3, v_6, v_4, v_1) \ (v_1, v_4, v_6, v_3, v_5, v_2, v_1) \end{cases}

Если нужно, могу помочь с построением графа, проверкой других вариантов или доказательством отсутствия других циклов.