Доказать равенства на диаграммах Эйлера-Венна и с помощью свойств операций над множествами

Конечно, давайте решим каждое равенство подробно, используя диаграммы Эйлера-Венна и свойства операций над множествами.

1. Доказать: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Прежде всего, рассмотрим каждую из сторон уравнения:

1. Левая часть: (A ∪ B) ∩ C
   • A ∪ B: объединение множества A и B включает все элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих.
   • Затем пересечение этого с C ((A ∪ B) ∩ C) включает элементы, которые присутствуют в A ∪ B и одновременно находятся в C.
2. Правая часть: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
   • A ∩ C: пересечение множества A и C включает элементы, которые находятся одновременно в A и C.
   • B ∩ C: пересечение множества B и C включает элементы, которые находятся одновременно в B и C.
   • Затем объединение этих двух множеств ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) включает элементы, которые находятся либо в A ∩ C, либо в B ∩ C, либо в обоих.

Теперь докажем, что эти два выражения равны.

Доказательство:

• x ∈ (A ∪ B) ∩ C
• Это эквивалентно:
• x ∈ (A ∪ B) и x ∈ C
• Это означает, что x ∈ A или x ∈ B и x ∈ C
• Следовательно, x ∈ (A ∩ C) или x ∈ (B ∩ C)
• То есть, x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Таким образом, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

2. Доказать: \\( \overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \\)

Прежде всего, рассмотрим каждую из сторон уравнения:

1. Левая часть: \\( \overline{A ∪ B ∪ C} \\)
   • A ∪ B ∪ C: объединение множества A, B и C включает все элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в C, либо в любом из этих множеств.
   • Затем пересечение этого с дополнением \\( \overline{A ∪ B ∪ C} \\) включает элементы, которые НЕ находятся ни в A, ни в B, ни в C.
2. Правая часть: \\( \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C} \\)
   • \\( \overline{A} \\): элементы, которые не находятся в A.
   • \\( \overline{B} \\): элементы, которые не находятся в B.
   • \\( \overline{C} \\): элементы, которые не находятся в C.
   • Затем пересечение этих множеств \\( \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C} \\) включает элементы, которые не находятся ни в А, ни в B, ни в C.

Доказательство:

• x ∈ \overline{A ∪ B ∪ C}
• Это эквивалентно:
• x ∉ A ∪ B ∪ C
• Это значит: x ∉ A и x ∉ B и x ∉ C
• Следовательно, x ∈ \overline{A} и x ∈ \overline{B} и x ∈ \overline{C}
• То есть, x ∈ \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C}

Таким образом, \\( \overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \\).

На этих примерах можно увидеть, как применяются свойства операций над множествами и диаграммы Эйлера-Венна.