Доказать равенства на диаграммах Эйлера-Венна и с помощью свойств операций над множествами

Условие:

4. Доказать равенства на диаграммах Эйлера-Венна и с помощью свойств операций над множествами: (AUB)ПС = (АПС)U(ВПС) и AUBUC = AUBNC.

Решение:

Конечно, давайте решим каждое равенство подробно, используя диаграммы Эйлера-Венна и свойства операций над множествами. ### 1. Доказать: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Прежде всего, рассмотрим каждую из сторон уравнения: 1. **Левая часть: (A ∪ B) ∩ C** - \(A ∪ B\): объединение множества A и B включает все элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих. - Затем пересечение этого с C (\( (A ∪ B) ∩ C \)) включает элементы, которые присутствуют в \(A ∪ B\) и одновременно находятся в C. 2. **Правая часть: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)** - \(A ∩ C\): пересечение множества A и C включает элементы, которые находятся одновременно в A и C. - \(B ∩ C\): пересечение множества B и C включает элементы, которые находятся одновременно в B и C. - Затем объединение этих двух множеств (\( (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \)) включает элементы, которые находятся либо в \(A ∩ C\), либо в \(B ∩ C\), либо в обоих. Теперь докажем, что эти два выражения равны. #### Доказательство: - \( x \in (A ∪ B) ∩ C \) - Это эквивалентно: - \( x \in (A ∪ B) \) И \( x \in C \) - Это означает, что \( x \in A \) или \( x \in B \) И \( x \in C \) - Следовательно, \( x \in (A \cap C) \) или \( x \in (B \cap C) \) - То есть, \( x \in (A \cap C) \cup (B \cap C) \) Таким образом, \( (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \). ### 2. Доказать: \( \overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \) Прежде всего, рассмотрим каждую из сторон уравнения: 1. **Левая часть: \( \overline{A ∪ B ∪ C} \)** - \(A ∪ B ∪ C\): объединение множества A, B и C включает все элементы, которые находятся либо в A, либо в B, либо в C, либо в любом из этих множеств. - Затем пересечение этого с дополнением (\( \overline{A ∪ B ∪ C} \)) включает элементы, которые НЕ находятся ни в A, ни в B, ни в C. 2. **Правая часть: \( \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C} \)** - \( \overline{A} \): элементы, которые не находятся в A. - \( \overline{B} \): элементы, которые не находятся в B. - \( \overline{C} \): элементы, которые не находятся в C. - Затем пересечение этих множеств (\( \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C} \)) включает элементы, которые не находятся ни в А, ни в B, ни в C. #### Доказательство: - \( x \in \overline{A ∪ B ∪ C} \) - Это эквивалентно: - \( x \notin A ∪ B ∪ C \) - Это значит: \( x \notin A \) И \( x \notin B \) И \( x \notin C \) - Следовательно, \( x \in \overline{A} \) И \( x \in \overline{B} \) И \( x \in \overline{C} \) - То есть, \( x \in \overline{A} ∩ \overline{B} ∩ \overline{C} \) Таким образом, \( \overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \). На этих примерах можно увидеть, как применяются свойства операций над множествами и диаграммы Эйлера-Венна.