Доказать равенства: множествами с помощью свойств операций

Условие:

4. Доказать равенства: : множествами с помощью свойств операций над AUBUC= AUBNC.

Решение:

Это задание относится к разделу теории множеств, математической логики. Нам нужно доказать равенство двух выражений с учетом свойств операций над множествами. Мы должны доказать: \((A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C})\). **Доказательство:** ### Левый член выражения \((A \cup B) \cap \overline{C}\) 1. \(A \cup B\) — это множество элементов, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим (объединение A и B). 2. \(\overline{C}\) — это дополнительное множество к множеству \(C\), то есть множество элементов, которые не принадлежат \(C\). 3. Пересечение \((A \cup B) \cap \overline{C}\) — это множество элементов, которые принадлежат \(A \cup B\) и не принадлежат \(C\). Таким образом: \[ (A \cup B) \cap \overline{C} = \{x \mid x \in (A \cup B) \text{ и } x \notin C\} \] ### Правый член выражения \((A \cup B) \cap (A \cup \overline{C})\) 1. \(A \cup B\) — множество элементов, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим (объединение A и B). 2. \(A \cup \overline{C}\) — множество элементов, которые принадлежат либо \(A\), либо \(\overline{C}\) (дополнение множества \(C\)), либо обоим. 3. Пересечение \((A \cup B) \cap (A \cup \overline{C})\) — множество элементов, которые принадлежат \(A \cup B\) и одновременно принадлежат \(A \cup \overline{C}\). Таким образом: \[ (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) = \{x \mid x \in (A \cup B) \text{ и } x \in (A \cup \overline{C})\} \] Теперь рассмотрим элементы, которые могут попасть в пересечение: - Если \(x \in A\), то \(x\) автоматически принадлежит и \(A \cup B\), и \(A \cup \overline{C}\), значит \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C})\). - Если \(x \in B\) и \(x \notin C\), то \(x \in \overline{C}\), и значит \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C})\). Эти утверждения совпадают с анализом элементов для \((A \cup B) \cap \overline{C}\). ### Вывод: \[ (A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \] Равенство доказано.