Доказать равенства: множествами с помощью свойств операций

Это задание относится к разделу теории множеств, математической логики.

Нам нужно доказать равенство двух выражений с учетом свойств операций над множествами. Мы должны доказать: \( (A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \).

Левый член выражения \( (A \cup B) \cap \overline{C} \)

1. \( A \cup B \) — это множество элементов, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим (объединение A и B).
2. \( \overline{C} \) — это дополнительное множество к множеству \( C \), то есть множество элементов, которые не принадлежат \( C \).
3. Пересечение \( (A \cup B) \cap \overline{C} \) — это множество элементов, которые принадлежат \( A \cup B \) и не принадлежат \( C \). Таким образом: \[ (A \cup B) \cap \overline{C} = \{x \mid x \in (A \cup B) \text{ и } x \notin C\} \]

Правый член выражения \( (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \)

1. \( A \cup B \) — множество элементов, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим (объединение A и B).
2. \( A \cup \overline{C} \) — множество элементов, которые принадлежат либо \( A \), либо \( \overline{C} \) (дополнение множества \( C \)), либо обоим.
3. Пересечение \( (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \) — множество элементов, которые принадлежат \( A \cup B \) и одновременно принадлежат \( A \cup \overline{C} \). Таким образом: \[ (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) = \{x \mid x \in (A \cup B) \text{ и } x \in (A \cup \overline{C})\} \]

Теперь рассмотрим элементы, которые могут попасть в пересечение:

• Если \( x \in A \), то \( x \) автоматически принадлежит и \( A \cup B \), и \( A \cup \overline{C} \), значит \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \).
• Если \( x \in B \) и \( x \notin C \), то \( x \in \overline{C} \), и значит \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \).

Вывод:

\[ (A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cup B) \cap (A \cup \overline{C}) \] Равенство доказано.