Для композиций бинарных отношений справедливы включения

Предмет: Математика
Раздел: Теория множеств и бинарные отношения

Рассмотрим утверждения и проверим их справедливость.

Пусть даны бинарные отношения:

• P \subseteq A \times B
• S \subseteq B \times C
• T \subseteq C \times A

Теперь рассмотрим включения:

1. Проверка P \circ S \subseteq A \times C
   Композиция P \circ S определяется как множество пар (a, c), для которых существует b \in B, такое что (a, b) \in P и (b, c) \in S.
   Так как P \subseteq A \times B и S \subseteq B \times C, то результат будет подмножеством A \times C.
   Утверждение верно.

2. Проверка P \circ S \circ T \subseteq A \times A
   Композиция P \circ S \circ T определяется как множество пар (a, a'), для которых существуют b \in B и c \in C, такие что (a, b) \in P, (b, c) \in S и (c, a') \in T.
   Так как P отображает из A в B, S из B в C, а T из C в A, то результат будет подмножеством A \times A.
   Утверждение верно.

3. Проверка T \circ P \subseteq B \times C
   Композиция T \circ P определяется как множество пар (c, b), для которых существует a \in A, такое что (c, a) \in T и (a, b) \in P.
   Однако, T отображает из C в A, а P из A в B, следовательно, T \circ P будет подмножеством C \times B, а не B \times C.
   Утверждение неверно.

4. Проверка P \circ S \subseteq A \times B
   Мы уже выяснили, что P \circ S \subseteq A \times C, но A \times C не обязательно подмножество A \times B.
   Утверждение неверно.

Вывод: Верными являются включения:

• P \circ S \subseteq A \times C
• P \circ S \circ T \subseteq A \times A