Найти точки существования производной функции и вычислить в них

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Дифференцирование комплексных функций

Условие задачи:

Найти точки существования производной функции ( f(z) = i z + 3 z ), и вычислить в них ( f'(z) ).

Решение:

Функция ( f(z) = i z + 3 z ) является линейной комбинацией двух функций ( i z ) и ( 3 z ).

1. Проверка аналитичности функции:

Функция ( f(z) ) аналитична, если она удовлетворяет условиям Коши-Римана и её частные производные непрерывны. Для линейных функций вида ( a z + b ), где ( a, b ) — комплексные числа, функция всегда аналитична во всей комплексной плоскости.

Запишем ( f(z) ) в стандартной форме: [ f(z) = (i + 3) z. ]

Здесь коэффициент ( i + 3 ) — это константа, а ( z ) — переменная. Линейные функции такого вида аналитичны во всей комплексной плоскости.

2. Найдём производную ( f'(z) ):

Для линейной функции ( f(z) = a z ), где ( a ) — константа, производная равна ( f'(z) = a ). В данном случае: [ f'(z) = i + 3. ]

Ответ:

1. Функция ( f(z) ) аналитична во всех точках комплексной плоскости.
2. Производная функции: [ f'(z) = i + 3. ]