Найти производную этой функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференцирование и исследование функций

Ты задал выражение:
y = x e^{-x^2}

Разберём это выражение подробнее:

Это функция, заданная в виде произведения двух функций:

• x — линейная функция
• e^{-x^2} — экспоненциальная функция с отрицательным квадратичным показателем

Если тебе нужно исследовать эту функцию (например, найти производную, точки экстремума, поведение на бесконечности и т.д.), то уточни, что именно требуется сделать.

Но предположим, что тебе нужно найти производную этой функции.

Найдём производную функции:

Функция:
y = x e^{-x^2}

Это произведение двух функций, поэтому применим правило произведения:

(fg)' = f'g + fg'

Обозначим:

• f(x) = x, тогда f'(x) = 1
• g(x) = e^{-x^2}, тогда g'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) (по правилу цепочки)

Теперь подставим в формулу производной:

 y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot \left( e^{-x^2} \cdot (-2x) \right) 

Упростим:

 y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} 

Вынесем общий множитель e^{-x^2}:

 y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2) 

Ответ:

Производная функции y = x e^{-x^2} равна
y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)

Если тебе нужно продолжить исследование функции (например, найти экстремумы, интервалы возрастания/убывания и т. д.), дай знать!