Найти изображение (то есть график) нескольких функций

Предмет: Высшая математика

Раздел: Дифференцирование и графики функций — задача на нахождение графиков функций по уравнениям.

В указанном задании из экзаменационного билета требуется найти изображение (то есть график) нескольких функций. Прежде чем строить графики, рассмотрим каждую из функций.

a) \( f(t) = 5t^2 + 2e^{-t} \cdot \cos 2t \)

1. Первый слагаемый: \( 5t^2 \) — квадратичная функция, которая имеет параболический вид. Правая ветвь параболы направлена вверх.
2. Второй слагаемый: \( 2e^{-t} \cdot \cos 2t \) — это произведение двух функций:
   • \( e^{-t} \) — экспоненциальная функция, которая убывает с ростом \( t \).
   • \( \cos 2t \) — это колебательная функция с периодом \( \pi \), которая осциллирует со сжатыми колебаниями по сравнению с обычной косинусоидой.

   Итоговый график будет совмещением параболических и осциллирующих элементов.

б) \( f(t) = (t - 1) \cdot \mathrm{sh}2(t - 1) \)

1. Первый множитель: \( t - 1 \) — это линейная функция, которая пересекает ось абсцисс (ось \( t \)) в точке \( t = 1 \).
2. Второй множитель: \( \mathrm{sh} 2(t - 1) \) — это гиперболический синус, который имеет экспоненциальный рост на положительных значениях \( t \) и экспоненциальное убывание на отрицательных. График этой функции придется учитывать смещение вдоль оси \( t \) и комбинировать линейный элемент и экспоненциальный рост/убывание.

в) \( f(t) = t^2 \cdot \cos 4t \)

1. Первый множитель: \( t^2 \) — параболическая функция, которая также растет с увеличением \( t \).
2. Второй множитель: \( \cos 4t \) — колебательная функция с периодом \( \frac{\pi}{2} \), так как частота колебаний увеличена в 4 раза по сравнению с косинусом. Итоговый график будет колебательным с возрастающей амплитудой, так как \( t^2 \) будет увеличиваться по мере увеличения \( t \).

Таким образом: Для каждой функции можно представить, что для \( f(t) \) будут сочетаться простые элементы (параболы, экспоненты) с осциллирующими (косинус) или экспоненциальными функциями \( e^{-t} \) и \( \mathrm{sh}2(t - 1) \). Важно было бы воспользоваться математическим пакетом (например, Wolfram Alpha или Matplotlib в Python), чтобы построить более точные графики. Точное изображение этих графиков можно было бы создать с помощью математического ПО, так как аналитическое решение (построение вручную) может быть трудозатратным.