Выполнить приближенное вычисление с применением полногодифференциала (с точностью до 0,01)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Решение

Дана функция:
 f(x, y) = \ln \left( \sqrt[3]{1.03} + \sqrt[4]{0.98} - 1 \right) 

Требуется выполнить приближенное вычисление с применением полного дифференциала.

Шаг 1: Выбор точки разложения

Функция зависит от двух переменных:
 x = 1.03, \quad y = 0.98 
Выберем точку разложения  (x_0, y_0) = (1,1) , так как она удобна для приближенных вычислений.

Шаг 2: Вычисление частных производных

Обозначим:
 f(x, y) = \ln \left( \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} - 1 \right) 

Найдем частные производные:

1. По  x :
    \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} - 1} \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} 
   Подставляя  x_0 = 1, y_0 = 1 :
    \frac{\partial f}{\partial x} \Big|_{(1,1)} = \frac{1}{\left( 1 + 1 - 1 \right)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} 

2. По  y :
    \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} - 1} \cdot \frac{1}{4} y^{-3/4} 
   Подставляя  x_0 = 1, y_0 = 1 :
    \frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,1)} = \frac{1}{\left( 1 + 1 - 1 \right)} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} 

Шаг 3: Вычисление полного дифференциала

Полный дифференциал:
 df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy 

Подставляем значения:
 df = \frac{1}{3} \cdot (1.03 - 1) + \frac{1}{4} \cdot (0.98 - 1) 
 df = \frac{1}{3} \cdot 0.03 + \frac{1}{4} \cdot (-0.02) 
 df = 0.01 - 0.005 = 0.005 

Приближенное значение функции:
 f(1.03, 0.98) \approx f(1,1) + df 
Так как  f(1,1) = \ln(1) = 0 , то
 f(1.03, 0.98) \approx 0 + 0.005 = 0.005 

Ответ:

Приближенное значение  f(1.03, 0.98) \approx 0.005  с точностью до 0.01.