Вычислите ∆z и dz при переходе из точки M0 в точку M

Предмет: Математика. Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Дана функция z = x^2 + 3xy - 6y. Требуется найти при переходе из точки M_0(4, 1) в точку M_1(3.96, 1.03):

1. Приращение функции \Delta z = z(M_1) - z(M_0).
2. Дифференциал функции dz.

Шаг 1. Вычисление \Delta z

Подставим координаты точек M_0 и M_1 в функцию:

1. Для точки M_0(4, 1): z(M_0) = 4^2 + 3 \cdot 4 \cdot 1 - 6 \cdot 1 = 16 + 12 - 6 = 22.

2. Для точки M_1(3.96, 1.03): z(M_1) = (3.96)^2 + 3 \cdot 3.96 \cdot 1.03 - 6 \cdot 1.03. Вычислим:

   • (3.96)^2 = 15.6816,
   • 3 \cdot 3.96 \cdot 1.03 = 12.2232,
   • 6 \cdot 1.03 = 6.18. Тогда: z(M_1) = 15.6816 + 12.2232 - 6.18 = 21.7248.

Теперь: \Delta z = z(M_1) - z(M_0) = 21.7248 - 22 = -0.2752.

Шаг 2. Вычисление dz

Дифференциал функции z = x^2 + 3xy - 6y равен: dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy.

Найдём частные производные:

1. \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y,
2. \frac{\partial z}{\partial y} = 3x - 6.

Подставим координаты точки M_0(4, 1):

1. \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{M_0} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11.
2. \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{M_0} = 3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6.

Вычислим dx и dy:

• dx = x_1 - x_0 = 3.96 - 4 = -0.04,
• dy = y_1 - y_0 = 1.03 - 1 = 0.03.

Теперь: dz = 11 \cdot (-0.04) + 6 \cdot 0.03 = -0.44 + 0.18 = -0.26.

Ответ:

1. \Delta z = -0.28 (округлено до сотых),
2. dz = -0.26 (округлено до сотых).