Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Задача требует использования дифференциала для приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Рассмотрим функцию $y=\sqrt[3]{x}$.

Шаг 1. Выразим дифференциал функции

Функция задана как $y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$. Найдем производную этой функции:
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Дифференциал функции выражается как:
$dy=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx$.

Шаг 2. Определим значения для приближенного вычисления

Нам известно:

• $x_1=7.76$ (точка, в которой нужно найти значение функции),
• $x_0=8$ (ближайшая точка, где значение функции можно легко вычислить),
• $dx=x_1-x_0=7.76-8=-0.24$.

Шаг 3. Вычислим значение функции в точке $x_0$

Для $x_0=8$:
$y_0=\sqrt[3]{8}=2$.

Шаг 4. Вычислим дифференциал $dy$

Подставим $x_0=8$ в выражение для производной:
$\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}$.

Теперь найдем $dy$:
$dy=\frac{1}{12}\cdot dx=\frac{1}{12}\cdot (-0.24)=-0.02$.

Шаг 5. Приближенное значение функции в точке $x_1$

Используем формулу для приближенного вычисления:
$y_1\approx y_0+dy$.

Подставляем значения:
$y_1\approx 2+(-0.02)=1.98$.

Ответ:

Приближенное значение функции $y=\sqrt[3]{x}$ в точке $x_1=7.76$ равно $1.98$.