Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Задача требует использования дифференциала для приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Рассмотрим функцию y = \sqrt[3]{x}.

Шаг 1. Выразим дифференциал функции

Функция задана как y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}. Найдем производную этой функции:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.

Дифференциал функции выражается как:
dy = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx.

Шаг 2. Определим значения для приближенного вычисления

Нам известно:

• x_1 = 7.76 (точка, в которой нужно найти значение функции),
• x_0 = 8 (ближайшая точка, где значение функции можно легко вычислить),
• dx = x_1 - x_0 = 7.76 - 8 = -0.24.

Шаг 3. Вычислим значение функции в точке x_0

Для x_0 = 8:
y_0 = \sqrt[3]{8} = 2.

Шаг 4. Вычислим дифференциал dy

Подставим x_0 = 8 в выражение для производной:
\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}.

Теперь найдем dy:
dy = \frac{1}{12} \cdot dx = \frac{1}{12} \cdot (-0.24) = -0.02.

Шаг 5. Приближенное значение функции в точке x_1

Используем формулу для приближенного вычисления:
y_1 \approx y_0 + dy.

Подставляем значения:
y_1 \approx 2 + (-0.02) = 1.98.

Ответ:

Приближенное значение функции y = \sqrt[3]{x} в точке x_1 = 7.76 равно 1.98.